Question

17．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值为R的电阻．一根质量为m、电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量为M的重物相连．金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导线所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住M使轻绳恰处于伸直状态，由静止释放M．
求：（重力加速度大小为g）
（1）若S₁闭合、S₂断开，M的最大速度；
（2）若S₁和S₂均闭合，电容器的最大带电量；
（3）若S₁断开、S₂闭合，M的速度v随时间t变化的关系．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动时受力平衡，由平衡条件和安培力公式列式，即可求得最大速度．
（2）若S₁和S₂均闭合，电容器两端的电压与R两端的电压相等，结合闭合电路的欧姆定律与Q=CU即可求出最大带电量；
（3）若S₁断开、S₂闭合，由E=BLv以及闭合电路的欧姆定律求出电路中的电流的表达式，然后结合牛顿第二定律以及运动学的公式即可求出M的速度v随时间t变化的关系．

解答 解：（1）若S₁闭合、S₂断开，M释放后向下运动，金属棒向上运动，金属棒后达到了平衡状态时，设金属棒速度为v₁，根据法拉第电磁感应定律有：E₁=BLv₁
根据闭合电路欧姆定律有：I=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
金属棒受到的安培力为：F_安=BI L
金属棒匀速运动时有：mgsin30°+F_安=Mg
解得：v₁=$\frac{g（M-msinθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）S₁和S₂均闭合，时干路中的电流值与S₁闭合、S₂断开相等，所以电容器两个极板之间的最大电压：U_m=U_R=IR
电容器的带电量：Q=CU_m
联立得：Q=$\frac{（M-msinθ）gRC}{BL}$
（3）若S₁断开、S₂闭合，设从释放M开始，经过时间t后棒的受到大小为v，加速度大小为a，通过金属棒的电流为i，则金属棒受到的安培力：Fi=BLi，方向沿导轨的方向向下．
设在t-t+△t时间内流过金属棒的电量为△Q，则△Q也是平行板电容器在t-t+△t时间内增加的电量，
由：△Q=C•BL△v，式中△v为速度的变化量，且：△v=a△t
则：$i=\frac{△Q}{△t}=\frac{C•BL△v}{△t}=CBLa$
设绳子中的拉力为T，对金属棒，由牛顿第二定律，则：T-mgsinθ-BiL=ma
对M，有：Mg-T=Ma
联立可得：a=$\frac{Mg-mgsinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}$
可知M做初速度为0的匀加速直线运动，速度：v=at=$\frac{M-msinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}•gt$
答：（1）若S₁闭合、S₂断开，M的最大速度为$\frac{g（M-msinθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若S₁和S₂均闭合，电容器的最大带电量为$\frac{（M-msinθ）gRC}{BL}$；
（3）若S₁断开、S₂闭合，M的速度v随时间t变化的关系为v=$\frac{M-msinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}•gt$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，关键要正确推导出安培力与速度的关系，由平衡条件解答；同时注意明确能量转化规律．