Question

16．如图所示，将一根绝缘硬金属导线弯曲成-个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通，在外力F作用下，正弦形金属线可以在杆上无摩擦滑动．杆的电阻不计，导线电阻为R，a、b间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆距离都是$\frac{L}{2}$．在导线和杆平面内有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为L，磁感应强度为B．现在外力F作用下导线沿杆以恒定的速度v向右运动，在运动过程中导线和杆组成的平面始终与磁场垂直．t=0时刻导线从O点进入磁场，直到全部穿过磁场，外力F所做功为（　　）

• A． $\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
• B． $\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{2R}$
• C． $\frac{3{B}^{2}{L}^{3}v}{4R}$
• D． $\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$

Answer 1

分析 正弦曲线形状金属导线以恒定的速度v穿过磁场过程中，线圈中产生正弦式交变电流，求出感应电动势的最大值，再求出有效值，根据功能关系求解外力F所做的功．

解答 解：金属导线在磁场中运动时，产生的电动势为：e=Bvy，y为导线切割磁力线的有效长度．
在导线运动的过程中，y随时间的变化为：
y=$dsinπ\frac{x}{L}$=$dsinπ\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω
则导线从开始向右运动到L的过程中（如图）有：${e}_{1}=Bvy=Bvdsinπ\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
则此过程中电动势的最大值为：E_1max=Bvd
此过程中电动势的有效值为：${E}_{1}=\frac{{E}_{1max}}{\sqrt{2}}=\frac{Bvd}{\sqrt{2}}$
导线从L向右运动到2L的过程中（如图）有：${e}_{2}=2Bvy=2Bvdsinπ\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt
即：E_2max=2Bvd
所以：${E}_{2}=2{E}_{1}=\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$
导线从2L向右运动到3L的过程与导线从开始向右运动L的过程相同（如图），则在这三段中运动的时间各为t，$t=\frac{L}{v}$
在整个过程中产生的内能为：
Q=$\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$=$2×\frac{\frac{{B}^{2}{v}^{2}{d}^{2}}{2}•\frac{L}{v}}{R}+\frac{\frac{4{B}^{2}{v}^{2}{d}^{2}}{2}•\frac{L}{v}}{R}$=$\frac{3{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$
因导线在拉力F的作用下匀速运动，所以拉力F所做的功全部转化为内能，即：W=Q=$\frac{3{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$
故选：C

点评 本题电磁感应与交变电流的知识综合题，考查迁移能力．本题要注意由于切割长度为正弦规律变化；故产生的电流为交流电；注意在交变电流求热量时，要用有效值．