Question

20．如图所示，间距为d的两竖直光滑金属导轨间接有一阻值为R的电阻，在两导轨间水平边界MN下方的区域内存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，一质量为m、长度为d、电阻为r的金属棒PQ紧靠在导轨上，现使棒PQ从MN上方$\frac{d}{2}$高度处由静止开始下落，结果棒PQ进入磁场后恰好做匀速直线运动．若棒PQ下落过程中受到的空气阻力大小恒为其所受重力的$\frac{1}{4}$，导轨的电阻忽略不计，棒与导轨始终保持垂直且接触良好，重力加速度大小为g，求：
（1）棒PQ在磁场中运动的速度大小v；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出棒PQ进磁场前的加速度，再由运动学公式求出棒PQ在磁场中运动的速度大小；
（2）根据法拉第电磁感应定律求感应电动势，闭合电路欧姆定律求电流，棒PQ受力平衡即可求解磁感应强度；

解答 解：（1）棒PQ进入磁场前做匀加速直线运动，设其加速度大小为a，有：
${v}_{\;}^{2}=2a•\frac{d}{2}$
根据牛顿第二定律有：$mg-\frac{1}{4}mg=ma$
解得：$v=\frac{\sqrt{3gd}}{2}$
（2）棒PQ在磁场中做匀速直线运动时，切割磁感线产生的感应电动势为：E=Bdv
回路中通过的感应电流为：$I=\frac{E}{R+r}$
对棒PQ，由受力平衡条件有：$BId=mg-\frac{1}{4}mg$
解得：$B=\sqrt{\frac{3mg（R+r）}{2{d}_{\;}^{2}\sqrt{3gd}}}$
答：（1）棒PQ在磁场中运动的速度大小v为$\frac{\sqrt{3gd}}{2}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B为$\sqrt{\frac{3mg（R+r）}{2{d}_{\;}^{2}\sqrt{3gd}}}$

点评 本题考查法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律等知识点，关键是从力的角度分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程．