Question

4．轻质弹簧原长为2r，将弹簧竖直放置在地面上，如图甲所示，在其顶端将一质量为4m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为r，现将该弹簧水平放置，如图乙所示，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5r的水平轨道，B端与半径为r的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度r后，撤去外力，P由静止开始沿轨道运动，重力加速度大小为g，弹簧处于弹性限度内．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块P质量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先研究弹簧竖直放置时弹簧的弹性势能，即可得到用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度r时弹簧的弹性势能．P从释放到B的过程，由能量守恒定律求P到达B点时速度的大小；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，则物块P到达B点的速度不能等于零．沿圆弧上升的最大高度不能超过C点，由能量守恒定律求P质量的取值范围．

解答 解：（1）当弹簧竖直放置时，长度被压缩至r时，由机械能守恒定律知，弹簧的弹性势能 E_p=4mgr
设P到达B点时速度的大小为v_B．
由能量守恒定律知：
   E_p=μmg（5r-r）+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立解得 v_B=2$\sqrt{gr}$
（2）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点的速度不能小于零，由此可知，E_p＞μMg•4r
即 4mgr＞μMg•4r
解得 M＜2m
要使P仍能沿圆弧轨道滑回，P在圆轨道上上升的高度不能超过半圆弧的中点C．
P从B沿圆弧上滑的过程，由机械能守恒定律知 $\frac{1}{2}M{v}_{B}^{′2}$≤Mgr
P从释放到B的过程，由能量守恒定律得  E_p=μMg（5r-r）+$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{′2}$
联立解得 M≥$\frac{4}{3}$m
所以P质量范围为 $\frac{4}{3}$m≤M＜2m
答：
（1）若P的质量为m，P到达B点时速度的大小是2$\sqrt{gr}$；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，物块P质量的取值范围为 $\frac{4}{3}$m≤M＜2m．

点评 解决本题时要抓住弹簧的形变量相等时弹性势能相等这一隐含的条件，正确分析能量是如何转化，分段运用能量守恒定律列式是关键．