Question

6．如图所示，直线y=x与y轴之间有垂直于xOy平面向外的匀强磁场B₁，直线x=d与y=x间有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度E=1.0×10⁴V/m，另有一半径R=1.0m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B₂=0.20T，方向垂直坐标平面向外，该圆与直线x=d和x轴均相切，且与x轴相切于S点．一带负电的粒子从S沿y轴的正方向以速度v₀进入圆形磁场区域，经过一段时间进入磁场区域B₁时的速度方向与直线y=x垂直．粒子速度大小v₀=1.0×10⁵m/s，粒子的比荷为$\frac{q}{m}$=5.0×10⁵C/kg，粒子重力不计，求：
（1）坐标d的值；
（2）要使粒子无法运动到x轴的负半轴，则磁感应强度B₁应满足的条件；
（3）在（2）问的基础上，粒子从开始进入圆形磁场至第二次到达直线y=x上的最长时间．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场${B}_{2}^{\;}$中，根据洛伦兹力提供向心力求出在${B}_{2}^{\;}$磁场中的轨道半径，进入电场做类平抛运动，根据类平抛运动的规律求出水平和竖直位移，结合几何关系即可求出坐标d的值；
（2）粒子无法运动到x轴负半轴，有两种情景，画出运动的轨迹图，根据半径公式和几何关系即可求解B₁应满足的条件；
（3）粒子运动时间最长时，在${B}_{1}^{\;}$磁场中运动半圈到达y=x，求出磁场和电场中运动的总时间即可

解答 解：（1）由带电粒子在匀强磁场中运动可得：
$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$   ①
解得：r=1m
粒子进入匀强电场以后，做类平抛运动，设水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y．
水平方向：$x={v}_{0}^{\;}t$        ②
竖直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$     ③
$a=\frac{qE}{m}$      ④
$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}tan45°=\frac{1}{2}$     ⑤
联立②③④⑤解得：
x=2m，y=1m    ⑥
由图示几何关系得：
d=x+y+R=4m    ⑦
（2）可使粒子无法运动到x负半轴
（a）设当匀强磁场磁感应强度为${B}_{1}^{′}$时，粒子垂直打在y轴上，粒子在磁场运动半径为${r}_{1}^{\;}$，由如图所示几何关系得：
${r}_{1}^{\;}=\sqrt{2}d-\sqrt{2}x$    ⑧
解得：${r}_{1}^{\;}$=$\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{1}^{′}}$=$2\sqrt{2}m$   ⑨
${B}_{1}^{′}=0.1T$      ⑩
故${B}_{1}^{\;}≤0.1T$⑪
（b）设当匀强磁场的磁感应强度为${B}_{1}^{″}$时，粒子从电场垂直边界进入匀强磁场后，轨迹与y轴相切，此时粒子在磁场中运动半径为${r}_{2}^{\;}$，由如图所示几何关系得：
${r}_{2}^{\;}+{r}_{2}^{\;}cos45°+x=d$⑫
解得：${r}_{2}^{\;}=\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{1}^{″}}=（4-2\sqrt{2}）m$⑬
${B}_{1}^{″}=0.24T$       则${B}_{1}^{\;}≥0.24T$⑭
（3）设粒子在${B}_{2}^{\;}$中运动时间为${t}_{1}^{\;}$，电场中运动时间为${t}_{2}^{\;}$，磁场${B}_{1}^{\;}$运动时间为${t}_{3}^{\;}$
则：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$\frac{{T}_{1}^{\;}}{4}+\frac{x}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{{T}_{2}^{\;}}{2}$=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}+\frac{x}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$=$6.2×1{0}_{\;}^{-3}s$
答：（1）坐标d的值为4m；
（2）要使粒子无法运动到x轴的负半轴，则磁感应强度B₁应满足的条件${B}_{1}^{\;}≤0.1T$或${B}_{1}^{\;}≥0.24T$；
（3）在（2）问的基础上，粒子从开始进入圆形磁场至第二次到达直线y=x上的最长时间$6.2×1{0}_{\;}^{-3}s$

点评 本题考查粒子在电场中类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动，对学生几何能力要求较高，能够找出问题的临界情况是解决本题的关键．