如图所示.在xOy坐标系的第一象限有方向垂直纸面向外的有界匀强磁场.y轴是它的左边界.曲线OP是它的右边界.OP的曲线方程为y=$\frac{2}{h}{x^2}$．在y轴上有一点Q(0.h).一电荷量为q.质量为m的粒子从Q点以不同的速率沿x轴正方向射入磁场．从磁场的右边界射出的粒子中.速率为v0的粒子在磁场中运动位移最短．不计粒子的重力．求(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图所示，在xOy坐标系的第一象限有方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，y轴是它的左边界，曲线OP是它的右边界，OP的曲线方程为y=$\frac{2}{h}{x^2}$．在y轴上有一点Q（0，h），一电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子从Q点以不同的速率沿x轴正方向射入磁场．从磁场的右边界射出的粒子中，速率为v₀的粒子在磁场中运动位移最短．不计粒子的重力．求
（1）磁感应强度的大小；
（2）能从磁场的右边界射出的粒子的速度范围．

分析（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力（牛顿第二定律）结合几何关系求解；出射点，在抛物线上，同时又在圆周运动的轨迹上，再将二者的几何关系联立即可求解；
（2）恰能从右边界射出的临界几何条件为：粒子轨迹与抛物线相切，将粒子轨迹方程与抛物线方程联立，利用几何关系求出粒子轨迹半径，再与洛伦兹力提供向心力得到的半径公式联立，求出相切时的临界速度，即可确定粒子的速度范围．

解答解：（1）如图一所示，设粒子从M（x，y）点射出磁场，
则粒子在磁场中运动的位移：$MQ=\sqrt{{x}^{2}+{（h-y）}^{2}}$①
根据已知：$y=\frac{2}{h}{x^2}$ ②
联立①②解得：$MQ=\sqrt{{y^2}-\frac{3}{2}hy+{h^2}}$=$\sqrt{（{y-\frac{3}{4}h）}^{2}+\frac{7}{16}{h}^{2}}$③
由③可知，当$y=\frac{3}{4}h$时，MQ有最小值．
根据洛伦兹力提供向心力：qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得粒子在磁场中运动的轨迹半径：$r=\frac{{m{v_0}}}{qB}$④
根据几何关系可得：${O_1}N=y-（h-r）=r-\frac{h}{4}$⑤
对△O₁NM运用勾股定理可得：${O_1}{N^2}+{x^2}={r^2}$⑥
由②④⑤⑥得$B=\frac{{8m{v_0}}}{7qh}$⑦
（2）如图二所示，设轨迹圆与磁场右边界相切于D（x，y）点，半径为R，粒子速度为v_min，此时粒子恰好射出磁场．
由圆的方程可得：x²+[y-（h-R）]²=R² ⑧
联立②⑧式消掉x可得：y²+（2R-$\frac{3}{2}$h）y+h²-2hR=0
因为相切，所以关于y的一元二次方程只有一个根，所以该方程的判别式：△=（2R-$\frac{3}{2}$h）²-4（h²-2hR）=0
解得：$R=\frac{{2\sqrt{2}-1}}{4}h$ ⑨
根据洛伦兹力提供向心力可得：qv_minB=m$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$⑩
联立⑦⑨⑩式可得：${v}_{min}=\frac{2（2\sqrt{2}-1）}{7}{v}_{0}$
所以粒子速度满足条件：v≥v_min=$\frac{2（2\sqrt{2}-1）}{7}{v}_{0}$
答：（1）磁感应强度的大小为得$\frac{8m{v}_{0}}{7qh}$；
（2）能从磁场的右边界射出，粒子的速度至少为$\frac{2（2\sqrt{2}-1）}{7}{v}_{0}$．