Question

4．北京时间2017年2月23日凌晨2点，美国航天局举行新闻发布会，宣布确认发现一个拥有7个类地行星的恒星系统TRAPPIST-1（简称T-1）．在这绕T-1做圆周运动的七兄弟（1b、1c、1d、1e、1f、1g、1h）则，1e、1f、1g被认为是最有可能存在液态水的．部分数据与地球的数据比较如表：

	公转周期	与恒星中心距离（AU）	行星质量（ME）	行星半径（RE）
太阳系-地球	1	1	1	1
TRAPPIST-1e	1/60	1/36	0.60	0.90
TRAPPIST-1f	1/40		1.0	0.68

将T-1、1e、1f均视为质量均匀分布的球体，不考虑七兄弟间的相互作用，则（　　）

• A． T-1的质量约为太阳质量的$\frac{25}{324}$倍
• B． 1f与恒星T-1的距离约为$\frac{1}{4}$$\root{3}{\frac{1}{162}}$AU
• C． 1e表面的重力加速度约是地球表面重力加速度的0.74倍
• D． 1e的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的0.70倍

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力分别求出比邻星和太阳的质量，从而得出比邻星质量是太阳质量的比值．
根据开普勒第三定律得出距离；
行星表面的物体受到的万有引力近似等于重力求出表面的重力加速度的关系；
根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度．

解答 解：A、设恒星系统TRAPPIST-1的质量为M_T，根据万有引力提供向心力，得：
$\frac{G{M}_{T}{M}_{E}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{{M}_{E}•4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，
得：${M}_{T}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
根据$G\frac{{M}_{日}^{\;}{m}_{地}^{\;}}{{r}_{2}^{2}}={m}_{地}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，
解得：${M}_{日}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$．
则：$\frac{{M}_{T}}{{M}_{日}}$=$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}•\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$（\frac{1}{36}）^{3}×6{0}^{2}$=$\frac{25}{324}$．即T-1的质量约为太阳质量的$\frac{25}{324}$倍．故A正确；
B、根据开普勒第三定律的推广可知：
$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{f}^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{f}^{2}}$
所以：${r}_{f}=\root{3}{\frac{{T}_{f}^{2}}{{T}_{1}^{2}}}•{r}_{1}$=$\root{3}{\frac{（\frac{1}{40}）^{2}}{（\frac{1}{60}）^{2}}}×\frac{1}{36}$AU=$\frac{1}{36}•\root{3}{\frac{9}{4}}$AU．故B错误；
C、行星表面的物体受到的万有引力近似等于重力，则：
$\frac{G{m}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=mg$
所以：g=$\frac{G{m}_{地}}{{R}_{地}^{2}}$
所以：$\frac{{g}_{1}}{g}=（\frac{{M}_{E}}{{m}_{地}}）•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{E}}）^{2}$=$0.60×（\frac{1}{0.9}）^{2}=\frac{60}{81}$≈0.74．故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，得：$\frac{G{m}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{地}}$
所以：v=$\sqrt{\frac{G{m}_{地}}{{R}_{地}}}$
所以：$\frac{{v}_{1}}{v}=\sqrt{\frac{{M}_{E}}{{m}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{E}}}$=$\sqrt{0.6×\frac{1}{0.9}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$≈0.82．故D错误．
故选：AC

点评 该题使用的公式比较多，要抓住：环绕天体绕中心天体做圆周运动，通过万有引力提供向心力可以求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量．