Question

17．如图所示，平行光束射到中空玻璃球上，玻璃球内外球面半径分别为b、a，玻璃球体的折射率为n．射到球面的光线通过折射有一部分能射进空腔内部，试求能射入空腔内部的光线所对应入射光线的横截面积．

Answer 1

分析 作出经过外壳折射后恰好在内表面发生全反射的临界光线，结合几何关系以及折射定律求出能进入空心球壳的入射平行光束的横截面积．

解答 解：由对称性知所求入射光束的截面应是一个圆．
设AB为所求光束的临界光线，入射角为i，经球壳外表面折射后折射角为r．
则 n=$\frac{sini}{sinr}$，得 sinr=$\frac{sini}{n}$
在E点正好发生全反射，则sinC=$\frac{1}{n}$
在△BEO中，由正弦定理，有：$\frac{b}{sinr}$=$\frac{a}{sin（180°-C）}$
得 a=$\frac{b}{nsinr}$=$\frac{b}{sini}$
又 R=a•sini=b
所以平行光束的横截面积为S=πR²=πb²．
答：能射入空腔内部的光线所对应入射光线的横截面积为πb²．

点评 本题解答的关键是作出边界光路，根据数学知识和折射定律结合解答．