Question

13．如图所示，倾斜传送带与水平方向的夹角为θ，质量为m的木块放在传送带上，用一根平行于传送带、劲度为k，原长为l_o的轻弹簧栓接，弹簧的另一端固定，当传送带顺时针匀速转动，木块相对地面静止时，弹簧压缩，当传送带逆时针匀速转动时，木块相对地面静止时，弹簧伸长，已知弹簧的压缩量为伸长量的一半，滑动摩擦力等于最大静摩擦力．求：
（1）木块与传送带间的动摩擦因数μ；
（2）当传送带静止时弹簧的长度l₀．

Answer 1

分析 （1）当传送带顺时针匀速转动，木块相对地面静止时，弹簧压缩，木块受到重力、滑动摩擦力、弹簧的弹力、传送带的支持力，采用正交分解法，建立等式关系；当传送带逆时针匀速转动时，木块相对地面静止时，木块受到重力、滑动摩擦力、弹簧的弹力、传送带的支持力，采用正交分解法，建立等式关系，联立求解
（2）当传送带静止时弹簧的长度是一个范围，最小值与最大值分别对应（1）的两种情况，因为滑动摩擦力等于最大静摩擦力．

解答 解：（1）当传送带顺时针匀速转动，木块相对地面静止时，弹簧的压缩量为x，根据平衡条件得：
kx+mgsinθ=μmgcosθ①

当传送带逆时针匀速转动时，木块相对地面静止时，根据平衡条件得：
mgsinθ+μmgcosθ=2kx②

联立①②式，解得：μ=3tanθ  x=$\frac{2mgsinθ}{k}$
（2）当木块刚好不下滑时，弹簧的压缩量为x，弹簧的长度l=l₀-x=l₀-$\frac{2mgsinθ}{k}$
当木块刚不上滑，弹簧的伸长量为2x，弹簧的长度l=l₀+2x=l₀+$\frac{4mgsinθ}{k}$
当传送带静止时弹簧的长度l满足：l₀-$\frac{2mgsinθ}{k}$≤l≤l₀+$\frac{4mgsinθ}{k}$我
答：（1）木块与传送带间的动摩擦因数μ为3tanθ；
（2）当传送带静止时弹簧的长度l的范围：l₀-$\frac{2mgsinθ}{k}$≤l≤l₀+$\frac{4mgsinθ}{k}$．

点评 考查共点力平衡，受力分析，用正交分解法求解；刚好不滑动的临界条件：两物体间静摩擦力刚好达到最大，滑动摩擦力等于最大静摩擦力．