Question

17．如图所示，在平面直角坐标系中，第三象限里有一加速电场，一个电荷量为q、质量为m的粒子，从静止开始经加速电场加速后，垂直x轴从A点进入第二象限，A点到坐标原点O的距离为R．在第二象限的区域内，存在着指向O点的均匀辐射状电场，距O点R处的电场强度大小均为E，粒子恰好能垂直y轴从P点进入第一象限．当粒子从P点运动一段距离R后，进入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感强度为B，粒子在磁场中速度方向偏转60°，粒子离开磁场区域后继续运动，通过x轴上的Q点进入第四象限．
求：（1）加速电场的电压U；
（2）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（3）求粒子在第一象限中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出带电粒子经过加速电场后的速度，进入第三象限的辐向电场做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由于是垂直于y轴进入第一象限，则在第二象限做匀速圆周运动的半径的R，从而求出加速电压．
（2）由题设条件，平行于x轴进入第一象限的带电粒子穿过圆形磁场区域后偏转60°后又沿直线从Q点穿出，画出带电粒子在第一象限的运动轨迹，由几何关系可以求出粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动的半径，那么圆形区域的最小面积是以圆周运动的弦为直径的圆的面积，从而求出磁场区域的最小面积．
（3）在第（2）的基础上，求出带电粒子在第一象限内运动轨迹的长度，除以速度从而求出了在第一象限的总时间．

解答 解：（1）粒子在加速电场中加速，根据动能定理有
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由题意，粒子在第二象限辐射状电场中只能做半径为R的匀速圆周运动，电场力提供向心力，有$qE=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得U=$\frac{ER}{2}$
（2）粒子在圆形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
由①或②得v=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$
代入④式得    r=$\frac{1}{2}R$         
如图所示，粒子在a点进入磁场，以c为圆心做圆周运动，从b点离开磁场，速度偏转角是60^o，
由几何关系可知△abc是正三角形，ab=r，以ab为直径的圆形面积即为磁场区域的最小面积．
 最小面积为S_min=$π（\frac{r}{2}）^{2}$=$\frac{π{R}^{2}}{16}$                          
（3）基于第（2）问基础，分析作图后由几何关系有：
Pa=R
ab弧长为：l=$\frac{2πr}{6}$=$\frac{πR}{6}$
be=R-ab•cos60°=$\frac{3R}{4}$
bQ=$\frac{be}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$                      
粒子在第一象限的路程为s=Pa+l+bQ=（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）R
则t=$\frac{s}{v}$=$\frac{（1+\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}）R}{\sqrt{\frac{qER}{m}}}$═（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
答：（1）加速电场的电压U为$\frac{ER}{2}$．
（2）圆形匀强磁场区域的最小面积为$\frac{π{R}^{2}}{16}$．
（3）求粒子在第一象限中运动的时间为（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．

点评 本题的靓点有两个：①带电粒子经电场加速后进入辐向电场恰好做半径为R的匀速圆周运动，②进入圆形磁场区域做匀速圆周运动后偏转60°又从磁场中穿出，从而确定做圆周运动的半径．那么圆形磁场区域的最小面积是以那段弧所对弦为直径的圆的面积．