Question

13．一次低空跳伞训练中，当直升飞机悬停在离地面224m高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展开后伞兵以12.5m/s²的加速度匀减速下降，为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5m/s，（取g=10m/s²）求：
（1）伞兵刚展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？
（2）伞兵在空中的最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）整个过程中，伞兵先做自由落体运动，后做匀减速运动，总位移大小等于224m．设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v₀，先研究匀减速过程，由速度-位移关系式，得到v₀与h的关系式，再研究自由落体过程，也得到一个v₀与h的关系式，联立求解．
（2）由（1）求出v₀，由速度公式求出两个过程的时间，即可得到总时间．

解答 解：（1）设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v₀，对于匀减速运动过程，有：${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2ah$，
即：$25-{{v}_{0}}^{2}=-2×12.5×h$，
对于自由下落过程，有：${{v}_{0}}^{2}=2g（224-h）$=2×10×（224-h）
联立解得：h=99 m，v₀=50 m/s
以5m/s的速度落地相当于从h₁高处自由落下，即：2gh₁=v²　
所以有：h₁=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{25}{20}$m=1.25m．
（2）设伞兵在空中的最短时间为t，自由落体运动的时间为t₁，匀减速直线运动的时间为t₂，则有：
根据速度时间公式得：v₀=gt₁，
自由落体运动的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{50}{10}s=5s$，
匀减速直线运动的时间为：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{0}}{a}$=$\frac{5-50}{-12.5}$s=3.6 s，
故所求时间为：t=t₁+t₂=（5+3.6）s=8.6 s．
答：（1）伞兵展伞时，离地面的高度至少为99m，着地时相当于从1.25m高处自由落下．
（2）伞兵在空中的最短时间为8.6s．

点评 本题涉及两个过程的运动学问题，既要单独研究两个过程，更要抓住它们之间的联系：比如位移关系、速度关系等等．