Question

13．如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上A、B两点均粘有一小物体，当B转至最低点位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知：OA=AB，P是地面上的一点．A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．（不计空气阻力）
（1）求OP的距离；
（2）若此时仅A点处小物体脱落，其落地时B点的小物体又恰好转到最低位置，求圆轮的角速度．

Answer 1

分析 （1）平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，结合两个物体的空间初始位置进行判断；
（2）根据平抛运动学求解A运动的时间，根据v=Rω求解角速度．

解答 解：（1）AB脱落后做平抛运动，设OP之间的距离为h，A随圆轮转动的线速度${v}_{A}=\frac{ωR}{2}$，B的为v_B=ωR
AB做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
故A下落时间${t}_{A}=\sqrt{\frac{2（h-\frac{R}{2}）}{g}}$，通过的位移为x_A=v_At_A
B下落时间${t}_{B}=\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$，通过的位移为x_B=v_Bt_B
其中x_A=x_B
联立解得$h=\frac{7}{6}R$

（2）A下落的时间${t}_{A}=\sqrt{\frac{4R}{3g}}$
由题意知圆盘转动的加速度$ω=\frac{2nπ}{{t}_{A}}=2nπ\sqrt{\frac{3g}{4R}}$（n=1，2，3…）
答：（1）OP的距离为$\frac{7}{6}R$；
（2）若此时仅A点处小物体脱落，其落地时B点的小物体又恰好转到最低位置，圆轮的角速度为$2nπ\sqrt{\frac{3g}{4R}}$（n=1，2，3…）．

点评 本题关键是明确两个物体的运动性质，然后根据运动学公式列式求解，注意等时性．