Question

12．太阳的半径和平均密度分别为R′和ρ′，地球的半径和平均密度分别为R和ρ，已知地球表面重力加速度为g．求：
（1）太阳表面的重力加速度g′．
（2）若R′=110R，ρ′=$\frac{1}{4}$ρ，g=9.8m/s²．试计算g′的值．

Answer 1

分析 （1）在太阳表面，重力等于万有引力，据此列式后求解出质量表达式，在根据密度的定义可以求解出太阳表面的重力加速度；
（2）在地球表面，重力等于万有引力，据此列式后求解出质量表达式，在根据密度的定义可以求解出地球表面的重力加速度表达式；最后联立求解即可．

解答 解：（1）在太阳表面，重力等于万有引力，故：
mg′=G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$
解得：
M′=$\frac{g′R{′}^{2}}{G}$   ①
密度：
ρ′=$\frac{M′}{\frac{4}{3}πR{′}^{3}}$  ②
联立①②解得：
g′=$\frac{4}{3}πGρ′R′$  ③
（2）同理，地球表面重力加速度为：
g=$\frac{4}{3}πGρR$     ④
联立③④解得：
$\frac{g′}{g}=\frac{ρ′R′}{ρR}$
故：g′=$\frac{ρ′R′}{ρR}g$=$\frac{110}{4}×9.8$=269.5m/s²
答：（1）太阳表面的重力加速度g′为$\frac{4}{3}πGρ′R′$．
（2）g′的值为269.5m/s²．

点评 本题关键是根据星球表面重力等于万有引力列式求解重力加速度表达式进行分析，采用比值法求解可以约去中间变量而简化运算．