题目内容

8.如图所示,在天花板O的正下方有两点A、B,已知OA=h,AB=H,在天花板上寻找一点C,在点C与A、B之间各连接光滑细线,让两个小球分别穿在细线上,让小球同时从C点下滑,两球同时滑到A、B点,则OC的长度为多少?两球的运动时间为多长?

分析 在点C与A、B之间各连接光滑细线,让两个小球分别穿在细线上,让小球同时从C点下滑,相当于有两个光滑的斜面,小球从斜面上下滑,由受力分析结合牛顿第二定律求得加速度,利用运动学方程求得OC的长度和两球的运动时间.

解答 解:设OC的长度为L,AC、BC与水平面的倾角为α和β,由几何关系可得:
sin$α=\frac{h}{\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}}$①
sin$β=\frac{h+H}{\sqrt{{L}^{2}{+(h+H)}^{2}}}$②
沿CA和CB方向下滑的小球的加速度分别为:
a1=gsinα,③
a2=gsinβ④
设运动时间为t,由运动学方程可得:$\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}={\frac{1}{2}}_{\;}$a1t2
$\sqrt{{L}^{2}{+(h+H)}^{2}}=\frac{1}{2}$${{a}_{2}t}^{2}$⑥
解①~⑥可得,L=$\sqrt{\frac{{h(h+H)}^{2}{-h}^{2}(h+H)}{H}}$⑦

联立①③⑤⑦可得,t=$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$
答:OC的长度为$\sqrt{\frac{{h(h+H)}^{2}{-h}^{2}(h+H)}{H}}$,两球的运动时间为$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$.

点评 本题采用等效法,将细线轨道转化为斜面模型,将陌生的情景转化为熟悉的情景,利用牛顿第二定律结合运动学方程求解,有一定的运算量.

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