题目内容
【题目】简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动。它具有如下特点：
（1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比、方向与位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定。
（2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即： 
。
（1）如图所示，一光滑的水平杆，在杆上穿有两轻质弹簧，劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端固定于竖直墙上，中间系一质量为m的金属小球，此时两弹簧均处于原长，O为平衡位置。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置做简谐运动。
a．写出小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式；
b．写出小球做简谐运动的周期T。
（2）一定质量的理想气体，在温度保持不变的条件下，其压强与体积的乘积保持不变，即：PV =P＇V＇（玻意尔—马略特定律）。如图所示，一密闭长方体容器，导热性能良好，中间有一质量为m的活塞，将容器分隔成体积相等的两部分，且两部分气体完全相同，整个容器的温度保持不变。已知气体的压强为P0，活塞到两端的距离均为L，活塞的横截面积为S，取向右为正方向。
a．现将活塞缓慢向右移到M位置，由静止释放，试求出活塞的位移为x时两边气体的压强P1和P2 比值；
b．证明：在振幅A远小于L的条件下，活塞的运动可以看作简谐运动。
【答案】（1）a．F合= -(k1+k2)xb． 
（2）a． 
b．见解析
【解析】（1）a．设小球向右偏离平衡位置的位移大小为x时，则此时右侧弹簧压缩，弹力为k2x，方向向左；左侧弹簧伸长，弹力为kx1，方向向左，则合外力F合的表达式；F合= -(k1+k2)x；
b. 结合F回 = -kx，可知k=k1+k2，根据
可得振子的周期： 
.
（2）a．对左边气体，由玻—马定律得：P0LS=P1（L+x）S
所以
同理对右边气体，由玻—马定律得：P0LS=P2（L-x）S
所以 
所以
b．活塞在运动到距离平衡位置的位移为x时
F合=P1S - P2S=
=
因为x远小于L，所以F合= 
= 
=- kx
其中k=
为一定值，所以在A远小于L的条件下，活塞的运动可视为简谐运动。
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