Question

6．如图所示，两根足够长的金属导轨MN，PQ平行放置，导轨平面与水平面成θ=37°角，间距L=0.5m，导轨N，Q两端接有阻值R=4Ω的电阻，整个装置放在磁感应强度B₀=2.0T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上，质量m=0.2kg，电阻r=1Ω的金属棒cd在距离导轨N，Q端s=2m处垂直导轨放置，不计金属导轨的电阻，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若导轨光滑，金属棒由静止释放，求金属棒最大速度v及此时电阻R上的功率P；
（2）若金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.8，磁感应强度从B₀均匀增大到2B₀的过程中，金属棒始终能保持静止，求磁感应强度变化率$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）若导轨光滑，金属棒沿轨道向下做初速度为0，加速度a=gsinθ的匀加速运动，求磁感应强度B_t随时间t变化的表达式．

Answer 1

分析 （1）金属棒速度最大时，加速度为0，金属棒受力平衡，结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律即可求解最大速度，由功率公式求解R上的功率；
（2）磁感应强度均匀变化均匀变化，导体棒静止，根据法拉第电磁感应定律知，电动势和电流不变，磁感应强度的变化率最大时，感应电动势最大，感应电流最大，金属棒受到的安培力最大，此时静摩擦力达到最大值且沿导轨向下，根据金属棒的受力平衡方程和法拉第电磁感应定律即可求解$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）根据导体棒的加速度a=gsinθ，知金属棒的合力等于重力沿斜面向下的分力，安培力为0，回路无感应电流，磁通量不变，根据初末状态的磁通量相等即可求解磁感应强度Bt随时间t变化的表达式；

解答 解：（1）金属棒速度最大时，有
$mgsinθ={B}_{0}^{\;}IL$
感应电动势$E={B}_{0}^{\;}Lv$
由闭合电路欧姆定律：E=I（R+r）
R上的功率：$P={I}_{\;}^{2}R$
代入数据解得：v=6m/s，P=5.76W
（2）磁感应强度均匀增大，金属棒始终静止，即电路中的电流始终不变，且电流受到安培力的方向沿轨道平面向上；当磁感应强度为${B}_{0}^{\;}$时，安培力最小，当磁感应强度为$2{B}_{0}^{\;}$时，安培力最大．因为μmgcosθ＞mgsinθ，满足磁感应强度为2${B}_{0}^{\;}$时，金属棒静止，整个过程中都能静止，当金属棒受到的摩擦力方向沿轨道平面向下达到最大值时，磁感应强度变化率最大．
${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}•Ls$
${E}_{1}^{\;}={I}_{1}^{\;}（R+r）$
根据受力平衡，有
$2{B}_{0}^{\;}{I}_{1}^{\;}L=mgsinθ+μmgcosθ$
代入数据解得$\frac{△B}{△t}=6.2T/s$，即为变化率的最大值
（3）金属棒沿轨道向下做初速度为0，加速度a=gsinθ的匀加速运动，即受到安培力为0，也就是电路中的感应电流为0，磁通量不发生变化．
${Φ}_{0}^{\;}={B}_{0}^{\;}Ls$
${Φ}_{t}^{\;}={B}_{t}^{\;}（s+{s}_{t}^{\;}）$
位移：$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
代入数据解得${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$
答：（1）若导轨光滑，金属棒由静止释放，金属棒最大速度v为6m/s，此时电阻R上的功率P为5.76W；
（2）若金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.8，磁感应强度从B0均匀增大到2B0的过程中，金属棒始终能保持静止，磁感应强度变化率$\frac{△B}{△t}$的最大值为6.2T/s；
（3）若导轨光滑，金属棒沿轨道向下做初速度为0，加速度a=gsinθ的匀加速运动，磁感应强度Bt随时间t变化的表达式${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$

点评 本题是电路知识、电磁感应和力学知识的综合，分析和计算安培力是个解题的关键，根据安培力与速度的关系，能正确分析棒的运动过程，是应该培养的基本能力．