Question

8．质量为m、电荷量为e、初速度为零的电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示．磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r，当不加磁场时，电子束将通过O点，而打到屏的中心M点，为了让电子束射到屏的边缘P，需要加磁场，使电子速偏转一已知角度θ，求：
（1）电子进入匀强磁场时的速度大小？
（2）电子通过磁场区域所用的时间？
（3）匀强磁场的磁感应强度？

Answer 1

分析 （1）电子在电场运动时，电场力做正功，根据动能定理求出电子进入磁场时的速度；
（2）电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，电子束偏转角度θ，则电子运动轨迹的圆心角也为θ，结合几何知识求出轨迹半径R，根据t=$\frac{Rθ}{v}$求解在磁场中运动的时间；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）电子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理，有：
eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：
v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

轨道半径为：R=$\frac{r}{tan\frac{θ}{2}}$
轨迹对应圆弧的圆心角为θ，故在磁场中运动的时间为：
t=$\frac{Rθ}{v}$=$\frac{rθ}{v•tan\frac{θ}{2}}$=$\frac{rθ}{tan\frac{θ}{2}}\sqrt{\frac{m}{2eU}}$
（3）在磁场中做匀速圆周运动过程，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
B=$\frac{mv}{eR}$=$\frac{m\sqrt{\frac{2eU}{m}}}{e\frac{r}{tan\frac{θ}{2}}}$=$\frac{tan\frac{θ}{2}}{r}\sqrt{\frac{2mU}{e}}$
答：（1）电子进入匀强磁场时的速度大小为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）电子通过磁场区域所用的时间为$\frac{rθ}{tan\frac{θ}{2}}\sqrt{\frac{m}{2eU}}$；
（3）匀强磁场的磁感应强度为$\frac{tan\frac{θ}{2}}{r}\sqrt{\frac{2mU}{e}}$．

点评 本题关键是明确电子的运动性质，分匀加速直线运动和匀速圆周运动过程考虑，画出运动轨迹，结合动能定理和牛顿第二定律列式求解．