Question

13．木星的质量是太阳系中质量最大的行星，其质量相当于地球的1.25×10³倍．由于木星的轨道半径约为地球轨道半径的5倍（木星轨道和地球轨道都可近似地看成圆），所以木星上的“一年”比地球上的“一年”大得多．问：
（1）太阳对木星引力是对地球引力的多少倍？
（2）木星和地球绕太阳做圆周运动的向心加速度之比是多少？
（3）木星上的“一年”是地球上的“一年”的多少倍？

Answer 1

分析 （1）直接根据万有引力定律列式分析即可；
（2）行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律列式求解出加速度表达式分析即可；
（3）行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律列式求解出周期表达式分析即可．

解答 解：（1）根据万有引力定律，有：F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
故$\frac{{F}_{木}}{F地}=\frac{{m}_{木}{{r}_{地}}^{2}}{{m}_{地}{{r}_{木}}^{2}}=\frac{1.25×1{0}^{3}}{{5}^{2}}$=50（倍）
（2）万有引力提供向心力，则：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$
故$\frac{{a}_{木}}{a地}=\frac{{{r}_{地}}^{2}}{{{r}_{木}}^{2}}=\frac{1}{{5}^{2}}=\frac{1}{25}$（倍）
（3）万有引力提供向心力，则：
$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
得：$\frac{{T}_{木星}}{{T}_{地球}}={（\frac{{r}_{地球}}{{r}_{木星}}）}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{5}^{3}}=5\sqrt{5}$倍 
答：（1）太阳对木星引力是对地球引力的50倍；
（2）木星和地球绕太阳做圆周运动的向心加速度之比是1：25；
（3）木星上的“一年”是地球上的“一年”的5$\sqrt{5}$倍．

点评 本题关键是明确行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律和万有引力定律公式列式后联立求解即可．