Question

7．一辆长途客车正在以v₁=20m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方x=23m处有一只狗，如图（甲）所示，司机立即采取制动措施，若从司机看见狗开始计时（t=0）长途客车的速度-时间图象如图（乙）所示．
 
（1）求长途客车制动时的加速度大小；
（2）求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
（3）若狗初始以v₂=4m/s的速度与长途客车同向奔跑，t=0.5s时发现了身后的车，开始以a=3m/s²做匀加速运动，加速到最大速度需17.5m，问狗能否摆脱被撞的噩运？若相撞，求何时相撞，若不能相撞，求车和狗之间的最小距离．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间图线求出长途客车制动时的加速度大小；
（2）根据图线与时间轴围成的面积求出长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
（3）根据速度位移公式求出狗的最大速度，根据速度时间公式求出车和狗速度相等经历的时间，结合位移关系判断两者是否相撞，若相撞，再结合位移关系，求出相撞经历的时间．

解答 解：（1）根据速度时间图线知，长途客车制动时的加速度大小a₁=$\frac{△v}{△t}=\frac{20}{4.5-0.5}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$．
（2）图线与时间轴围成的面积表示位移，则$x=\frac{1}{2}×（0.5+4.5）×20m=50m$．
（3）狗能达到的最大速度${v}_{m}=\sqrt{{{v}_{2}}^{2}+2ax′}=\sqrt{16+2×3×17.5}$m/s=11m/s．
司机的反应时间为0.5s，狗t=0.5s时发现了身后的车，知汽车开始刹车时，车与狗之间的距离△x=23-（20-4）×0.5m=15m．
设从t=0.5s后，经过t时间车与狗的速度相等，有：v₁-a₁t=v₂+at，解得t=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}+{a}_{\;}}=\frac{20-4}{5+3}s=2s$．
汽车的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{400-16}{2×5}m$=38.4m，
狗的位移${x}_{2}={v}_{2}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=4×2+\frac{1}{2}×3×4m$=14m，
因为x₁＞x₂+△x，知狗不能摆脱被撞的噩运．
设从0.5s后，经过t′时间相撞，
根据位移关系有：${v}_{1}t′-\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}=△x+{v}_{2}t′+\frac{1}{2}at{′}^{2}$，
代入数据解得t′=1.5s，
可知t=1.5+0.5s=2s时相撞．
答：（1）长途客车制动时的加速度大小为5m/s²；
（2）长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离为50m；
（3）狗不能摆脱被撞的噩运，在t=2s时相撞．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，会从图象中读出司机的反应时间，会通过速度时间图线求解加速度和位移．