Question

7．飞索过河可能让许多成年人都胆战心惊，然而在云南省福贡县，一些学生的小朋友却必须用溜索飞渡激流汹涌的怒江上学，尽管这样，小朋友们依然自信满满地走在上学路上，最终通过知识走出大山，改变命运，这些溜索可以看成一条理想化的抛物线，建立如图所示的直角坐标系．已知该粗糙的溜索对应的抛物线方程为y=$\frac{1}{20}$x²（x＜0），一个质量为m的小朋友从静止沿粗糙的溜索从（-2$\sqrt{10}$，2）点滑到B（-2$\sqrt{5}$，1）点时速度最大，之后该小朋友运动到O点时速度恰好减为零，已知B点的向心力可以忽略，A到B的过程中摩擦力做功的大小为W，重力加速度为g，求：
（1）过B点的速度v的大小
（2）B点到O点的过程中摩擦力做的功
（3）求索曲面的动摩擦因素的大小．

Answer 1

分析 （1）小朋友从A到B的过程，运用动能定理可求得过B点的速度v的大小．
（2）从B点到O点的过程中，根据动能定理求摩擦力做的功．
（3）在B点时速度最大，小朋友沿切线方向的合力为零．根据数学知识求出切线的倾角正切，由平衡条件求动摩擦因素的大小．

解答 解：（1）小朋友从A到B的过程，由动能 定理得：
mgh-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h=1m
解得：过B点的速度v的大小为：v=$\sqrt{2（gh-\frac{W}{m}）}$=$\sqrt{2（g-\frac{W}{m}）}$．
（2）从B点到O点的过程中，根据动能定理得：
mgh′+W_f=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h′=1m
解得摩擦力做的功为：W_f=W-2mg．
（3）由题意可知，B点的切线斜率为：k=y′=$\frac{x}{10}$
代入数据得：k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
则有，切线倾角的正切绝对值 tanα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
在B点时速度最大，则该点沿切线方向的合外力为0．在Bh点对m受力分析，则有
   mgsinα=f
  F_N=mgcosα
又 f=μF_N
代入数据解得 μ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答：（1）过B点的速度v的大小是$\sqrt{2（g-\frac{W}{m}）}$．
（2）B点到O点的过程中摩擦力做的功为W-2mg．
（3）索曲面的动摩擦因素的大小为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 解决本题的关键要分析清楚哪些力对m做功，分段运用动能定理．要知道B点隐含的条件：合外力为零，速度最大．