题目内容
7.飞索过河可能让许多成年人都胆战心惊,然而在云南省福贡县,一些学生的小朋友却必须用溜索飞渡激流汹涌的怒江上学,尽管这样,小朋友们依然自信满满地走在上学路上,最终通过知识走出大山,改变命运,这些溜索可以看成一条理想化的抛物线,建立如图所示的直角坐标系.已知该粗糙的溜索对应的抛物线方程为y=$\frac{1}{20}$x2(x<0),一个质量为m的小朋友从静止沿粗糙的溜索从(-2$\sqrt{10}$,2)点滑到B(-2$\sqrt{5}$,1)点时速度最大,之后该小朋友运动到O点时速度恰好减为零,已知B点的向心力可以忽略,A到B的过程中摩擦力做功的大小为W,重力加速度为g,求:(1)过B点的速度v的大小
(2)B点到O点的过程中摩擦力做的功
(3)求索曲面的动摩擦因素的大小.
分析 (1)小朋友从A到B的过程,运用动能定理可求得过B点的速度v的大小.
(2)从B点到O点的过程中,根据动能定理求摩擦力做的功.
(3)在B点时速度最大,小朋友沿切线方向的合力为零.根据数学知识求出切线的倾角正切,由平衡条件求动摩擦因素的大小.
解答 解:(1)小朋友从A到B的过程,由动能 定理得:
mgh-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h=1m
解得:过B点的速度v的大小为:v=$\sqrt{2(gh-\frac{W}{m})}$=$\sqrt{2(g-\frac{W}{m})}$.
(2)从B点到O点的过程中,根据动能定理得:
mgh′+Wf=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h′=1m
解得摩擦力做的功为:Wf=W-2mg.
(3)由题意可知,B点的切线斜率为:k=y′=$\frac{x}{10}$
代入数据得:k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
则有,切线倾角的正切绝对值 tanα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
在B点时速度最大,则该点沿切线方向的合外力为0.在Bh点对m受力分析,则有
mgsinα=f
FN=mgcosα
又 f=μFN
代入数据解得 μ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答:(1)过B点的速度v的大小是$\sqrt{2(g-\frac{W}{m})}$.
(2)B点到O点的过程中摩擦力做的功为W-2mg.
(3)索曲面的动摩擦因素的大小为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
点评 解决本题的关键要分析清楚哪些力对m做功,分段运用动能定理.要知道B点隐含的条件:合外力为零,速度最大.
练习册系列答案
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