题目内容
【题目】物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是较基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
(1)可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A。经极短时间
后运动到位置B，如图所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小；
(2)在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常旧“以恒代变"的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时我们用的更多的是一种”化曲为圆”的思想，即对于般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不详，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值
的圆周运动的部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，叫做曲率半径，如图所示，试据此分析图所示的斜抛运动中。轨迹最高点处的曲率半径；
(3)事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v，据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
【答案】(1)
或
；(2)
；(3)
【解析】
(1)当
足够小时，
、
的夹角
就足够小，角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，
在时间内，所对方向变化的角度为
联立可得
代入加速度定义式
，以及把
代入，可得向心加速度大小的表达式为
上式也可以写为
(2)在斜抛运动最高点，质点的速度为
可以把质点的运动看成是半径为
的圆周运动，因为质点只受重力，所以根据牛顿第二定律可得
联立可得
(3)质点在短时间内将从A以速度v匀速运动到
，则
，
由图可知
联立解得
若足够小，即
所以
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