Question

17．1656年，惠更斯制造出人类历史上第一个摆钟，使人类对时间的测量进入崭新的时代，摆钟是利用单摆的等时性原则测量时间的．某标准摆钟的摆长为L，将其移至深度为kR的矿井底部（R为地球的半径，0＜k＜1），钟将变快还是就慢？若要计时准确，摆长应调为多长？假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零．

Answer 1

分析 利用万有引力近似等于其重力，得到地球表面的重力加速度g矿井底部的重力加速度 g′，结合单摆的周期公式及密度公式，联立求解．

解答 解：摆钟移至矿井底部，周期变长，钟将变慢，地面的物体受到的万有引力约等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
矿井底部的物体受到的万有引力约等于重力，有：
$G\frac{M′m}{R{′}_{\;}^{2}}=mg′$
地球的密度均匀，即为：
$\frac{M}{M′}=（\frac{R}{R′}）_{\;}^{3}$
而R’=R（1-k）
由单摆周期公式有：
$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$
$T′=2π\sqrt{\frac{L′}{g′}}$
联立解得：L’=（1-k）L
答：摆钟将变慢，摆长应调为（1-k）L

点评 本题考查万有引力定律的应用，意在考查对基本物理规律的分析计算能力．