Question

劲度系数为k的轻弹簧，竖直放置在地面上，其上端固定有质量为M的钢板，处于静止状态，如图，现有一质量为m的小球从距钢板H的高处自由下落并与之发生碰撞，碰撞中无机械能损失．已知M=3m，弹簧振子的周期T=2π

M k

．求：
（1）小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v₁及钢板的速度v₂的大小和方向；   
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰（即钢板的初始位置），求钢板质量的最大值．

Answer 1

分析：（1）小球碰前做自由落体运动，碰撞过程系统动量和机械能均守恒，根据守恒定律列式后联立求解即可；
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰，则小球返回时间为钢板简谐运动半周期的奇数倍，根据等时性列式后联立求解；

解答：解：（1）设小球落至钢板时速度为v₀，由机械能守恒定律得，
mgH=

1

2

mv₀²    ①
碰撞过程中动量守恒，mv₀=mv₁+Mv₂    ②
由于机械能无损失，

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²=

1

2

mv₀²   ③
联立①②③式得，v₁=-

1

2

v₀=-

1

2

2gH

，负号表示方向向上，
v₂=

1

2

v₀=

1

2

2gH

，方向竖直向下．
（2）由（1）可知，碰撞后小球做竖直上抛运动，钢板以

1

2

v₀（连同弹簧）向下做简谐运动，
要使m与M第二次碰撞仍发生在原位置，则必有小球重新落回到O处所用的时间t恰好对应钢板的nT+

1

2

T．
而当M取最大值时，必有t=

1

2

T，即t=

v0

g

=

2H g

=π

M K

解得，M=

2Hk

gπ2

．
答：（1）小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度大小是

1

2

2gH

，方向向上，钢板的速度大小是

1

2

2gH

，方向竖直向下；   
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰（即钢板的初始位置），钢板质量的最大值M=

2Hk

gπ2

．

点评：本题关键明确小球和钢板的运动规律，根据动量守恒定律和机械能守恒定律多次列式后联立求解，第二问找出临界情况是关键，