Question

7．如图所示，质量为M=3kg，长度为L=1m的木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块．已知木块的质量m=1kg，小木块与长木板上表面之间、小物块与地面之间的动摩擦因数μ₁=0.2．而长木板与地面之间的动摩擦因数μ₂=0.4，现用水平恒力F拉木板（g取10m/s²，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）若将长木板M从小木块与地面之间抽出，拉力F至少应为多少？
（2）若开始时，用F=30N的水平力作用在M上，经过多长时间小物块m与长木板M分离？
（3）若保持F=30N的水平恒力一直作用在M上，求从开始运动到3s时小物块与长木板的左端相距多远？

Answer 1

分析 （1）当长木板M从小木块与地面之间刚好抽出时m与M间的静摩擦力达到最大，运用隔离法，分别对两个物体运用牛顿第二定律列式，即可求得拉力F的最小值．
（2）由牛顿第二定律求出两个物体的加速度，当M、m两个物体的位移之差等于L时物块m与长木板M分离，由位移时间公式求时间．
（3）结合上题的结果分析两个物体的运动情况，由牛顿第二定律和运动学公式研究两个物体分离后的速度和位移，再得到所求的结果．

解答 解（1）根据牛顿第二定律得：
对m：μ₁mg=ma
对M：F-μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma
则：F=（μ₁+μ₂）（M+m）g
代入数据解得 F=24N
所以拉力F至少应为24N．
（2）对m：μ₁mg=ma₁，得 a₁=2m/s²．
对M：F-μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂．得 a₂=4m/s²．
当小物块m与长木板M分离时有 L=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得 t=1s
（3）当t₀=1s时两物体分离时的速度分别为：
   v₁=a₁t=2×1=2m/s，v₂=a₂t=4×1=4m/s
以后两物体的加速度分别为：
-μ₁mg=ma₃，得 a₃=2m/s²．
F-μ₂Mg=Ma₄．得 a₄=6m/s²．
小物块从分离到停止运动所用时间：△t=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{3}}$=$\frac{-2}{-2}$=1s＜（3s-1s）=2s
说明小物块在给定的时间内已停止运动．
从分离开始，小物块向前运动的位移为：x₁=$\frac{{v}_{1}+0}{2}△t$=$\frac{2}{2}×1$=1m
长木板向前运动的位移为：x₂=${v}_{2}（t-{t}_{0}）+\frac{1}{2}{a}_{4}（t-{t}_{0}）^{2}$
代入数据解得 x₂=20m
t=3s时两物体相距为：△x=x₂-x₁=19m
答：
（1）若将长木板M从小木块与地面之间抽出，拉力F至少应为24N．
（2）若开始时，用F=30N的水平力作用在M上，经过1s长时间小物块m与长木板M分离．
（3）若保持F=30N的水平恒力一直作用在M上，从开始运动到3s时小物块与长木板的左端相距是19m．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程是解题的关键，要分析出隐含的临界条件，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．