题目内容

2．如图，虚线L1、L2将平面分为四个区域，L2的左侧有一匀强电场，场强大小为E，方向与L1平行．L2的右侧为匀强磁场，方向垂直纸面向外．在图中L1上到L2的距离为d的A点有一粒子源，可以发射质量为m，电荷量为+q的粒子，粒子的初速度方向与L2平行，不计粒子的重力．
（1）若从A点射出的粒子恰好从距离L1为2d的B点进入磁场，求该粒子进入磁场时的速度大小和方向；
（2）在磁场区域放置绝缘挡板BD，挡板与L1交于C点，已知OC=OB，BC=2CD．粒子与挡板BD碰撞前后粒子平行于挡板的分速度不变，垂直于挡板的分速度大小不变，方向反向．当磁感应强度在B1≤B≤B2取值时，恰好所有取值都能使由B点进入磁场的粒子不与挡板的CD段碰撞，并能从L2上的OB段射出磁场，求B1、B2的值，并求出粒子离开磁场的位置到O点的最远距离．（不考虑粒子再次进入磁场的情况，也不考虑B1≤B≤B2以外的取值）

分析 根据带电粒子在电场和磁场中的运动规律知识
（1）左边的运动时类平抛运动，水平方向上匀加速，竖直方向上匀速直线运动，利用平抛运动的规律对运动分解，可求出速度大小和方向；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，做出运动轨迹图形，根据条件，与CD段不碰撞，且从OB段射出磁场，列出两个方程求出B的范围．

解答 解：设粒子开始的速度为v0，电场中的加速度为a，到达B的速度为vB，根据题意
（1）粒子在电场做类平抛运动，
水平方向上有：d=$\frac{1}{2}{at}^{2}$
竖直方向上有：2d=v0t
又，a=$\frac{qE}{m}$
由以上三式可得：
v0=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$，t=$\sqrt{\frac{2dm}{qE}}$
从而可求出到达B点的速度，
vB=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}{{+a}^{2}t}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，
再有分速度和合速度之间的关系可得出，速度方向与水平方向夹角为45°；
（2）粒子进入磁场之后，洛伦兹力提供向心力，设圆周的半径为r
则有，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子不与挡板的CD段碰撞，并能从L2上的OB段射出磁场的临界情况有2个：

（a）粒子在C点与挡板2个侧面碰撞2次后恰好从O点射出磁场，如图（a）；
（b）粒子与挡板碰撞1次后恰好从D点绕过挡板，再与挡板碰一次，然后从P点射出磁场，如图（b）．
根据条件及几何关系，
对照a图，2r=$2\sqrt{2}d$
对照b图，4r=$3\sqrt{2}d$
由以上两式可得出半径r的条件范围：$\frac{3\sqrt{2}}{4}d≤r≤\sqrt{2}d$
再根据洛伦兹力等于向心力的公式得到：r=$\frac{mv}{qB}$，将左边的式子带入上面不等式，化简可得，
$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}≤B≤\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$
即B1=$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，B2=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，
粒子离开磁场的位置到O点的最远距离为图（b）中的OP，由几何关系可得：
OP=2d-$\sqrt{2}r$=2d-$\frac{3}{2}d$=$\frac{1}{2}d$．
答：（1）若从A点射出的粒子恰好从距离L1为2d的B点进入磁场，该粒子进入磁场时的速度大小为2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，方向与水平方向夹45°角；
（2）满足题设要求的B1B2的值分别为：$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$和$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，粒子离开磁场的位置到O点的最远距离为$\frac{1}{2}d$．

点评 本题考察带电粒子在电磁场中的运动规律，涉及到了平抛运动的规律和圆周运动规律的应用，特别是第二个问，对于设定条件的问题，解题时需要选择边界，确定条件范围，本题难度较大，综合性较高．

练习册系列答案
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