Question

11．如图所示，质量为m₁=10m的天车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L的细线悬挂着质量为m₂=9m的沙箱，一颗质量为m₀=m的子弹以v₀的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后的运动过程中（设最大高度不超过水平轨道），求：
（1）沙箱上升的最大高度； 
（2）天车的最大速度．

Answer 1

分析 （1）子弹打入沙箱的过程中系统动量守恒，根据动量守恒定律列式，求出子弹击中沙箱后的速度．在水箱向上摆动过程中，子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒，机械能守恒．沙箱到达最大高度时系统有相同的速度，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；
（2）子弹和沙箱再摆回最低点时，天车速度最大，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）子弹打入沙箱过程中动量守恒，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律得：
  m₀v₀=（m₀+m₂）v₁ ①
摆动过程中，子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒，机械能守恒．
沙箱到达最大高度时系统有相同的速度，设为v₂，则根据动量守恒定律有：
（m₀+m₂）v₁=（m₀+m₁+m₂）v₂ ②
由系统的机械能守恒得 $\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₁²=$\frac{1}{2}$（m₀+m₁+m₂）v₂²+（m₀+m₂）gh  ③
联立①②③可得 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{400g}$
（2）子弹和沙箱再摆回最低点时，天车速度最大，设此时天车速度为v₃，沙箱速度为v₄
由动量守恒得：
（m₀+m₂）v₁=m₁v₃+（m₀+m₂）v₄ ④
由系统机械能守恒得 $\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₃²+$\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₄² ⑤
联立④⑤求解得天车的最大速度为
  v₃=$\frac{1}{10}$v₀．
答：
（1）沙箱上升的最大高度为$\frac{{v}_{0}^{2}}{400g}$；
（2）天车的最大速度是$\frac{1}{10}$v₀．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，抓住隐含的临界条件：沙箱上升到最大高度时系统的速度相同，应用动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题，解题时要注意研究对象与运动过程的选择．