Question

15．如图为某种鱼饵自动投放器的装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口C处切线水平，AB管内有原长为R、下端固定的轻质弹簧．在弹簧上端放置一粒质量为m的鱼饵，解除锁定后弹簧可将鱼饵弹射出去．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，此时弹簧的弹性势能为6mgR （g为重力加速度）．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，求：
（1）鱼饵到达管口C时的速度大小v₁：
（2）鱼饵到达管口C时对管子的作用力大小和方向：
（3）已知地面比水面高出1.5R，若竖直细管的长度可以调节，圆孤弯道管BC可随竖直细管-起升降．求鱼饵到达水面的落点与AB所在竖直线OO′之间的最大距离L_max．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律求出鱼饵到达管口C时的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出管口对鱼饵的作用力大小，从而结合牛顿第二定律求出鱼饵对管子的作用力大小和方向．
（3）根据机械能守恒定律求出平抛运动的初速度，结合平抛运动的规律求出水平位移的表达式，通过数学知识得出鱼饵到达水面的落点与AB所在竖直线OO′之间的最大距离．

解答 解：（1）鱼饵到达管口C的过程中弹簧的弹性势能转化为鱼饵的重力势能和动能，
有：$6mgR=2.5mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{7gR}$．
（2）设C处管子对鱼饵的作用力向下，大小设为F，
根据牛顿第二定律有：$mg+F=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得F=6mg，
由牛顿第三定律可得鱼饵对管子的作用力F′=6mg，方向向上．
（3）设AB长度为h，对应平抛水平距离为x，
由机械能守恒定律有：$6mgR=mg（R+h-0.5R）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由平抛运动的规律得，x=vt，$2.5R+h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得x=$\sqrt{2g（5.5R-h）}\sqrt{\frac{2（2.5R+h）}{g}}$=$2\sqrt{（5.5R-h）（2.5R+h）}$，
当h=1.5R时，x的最大值x_max=8R，
则L_max=x_max+R=9R．
答：（1）鱼饵到达管口C时的速度大小为$\sqrt{7gR}$；
（2）鱼饵到达管口C时对管子的作用力大小为6mg，方向向上；
（3）鱼饵到达水面的落点与AB所在竖直线OO′之间的最大距离为9R．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程以及机械能守恒定律的应用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．