题目内容

16．如图甲所示，竖直放置的金属板A、B中间开有小孔，小孔的连线沿水平放置的金属板C、D的中间线，粒子源P可以间断地产生质量为m、电荷量为q的带正电粒子（初速不计），粒子在A、B间被加速后，再进入金属板C、D间偏转并均能从此电场中射出．已知金属板A、B间的电压UAB=U0，金属板C、D长度为L，间距d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．两板之间的电压UCD随时间t变化的图象如图乙所示．在金属板C、D右侧有一垂直纸面向里的均匀磁场分布在图示的半环形带中，该环带的内、外圆心与金属板C、D的中心O点重合，磁感应强度B0=$\sqrt{\frac{24m{U}_{0}}{q{L}^{2}}}$，内圆半径R1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期（电场变化的周期T未知），粒子重力不计．

（1）求粒子离开偏转电场时，在垂直于板面方向偏移的最大距离；
（2）若所有粒子均不能从环形磁场的右侧穿出，求环带磁场的最小宽度．

分析 （1）对粒子加速过程由动能定理求得进入偏转电场的速度．要在垂直于板面方向偏移的距离最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的电压最大．根据类平抛运动的规律求解．
（2）进入偏转电场的粒子刚好不能穿出磁场时的环带宽度为磁场的最小宽度，根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度，画出粒子刚好不能穿出磁场的轨迹图，根据半径公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v，对粒子加速过程由动能定理得：qUAB=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$
进入偏转电场后，加速度为：a=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$
设运动时间为t，则有L=v0t
只有t=$\frac{T}{2}$时刻进入偏转电场的粒子，垂直于极板方向偏移的距离最大，有：
y=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
（2）t=$\frac{T}{2}$时刻进入偏转电场的粒子刚好不能穿出磁场时的环带宽度为磁场的最小宽度．设粒子进入磁场时的速度为v′，
对粒子的偏转过程有：$\frac{1}{3}qU$=$\frac{1}{2}{mv′}^{2}$-$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v′=$\sqrt{\frac{8{qU}_{0}}{3m}}$
在磁场中做圆周运动的半径为：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{L}{3}$
如图所示，设环带外圆半径为R2，
（R2-R1）2=${R}_{1}^{2}$+R2
解得：R2=L
所求d=R2-R1=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L
答：（1）粒子离开偏转电场时，在垂直于板面方向偏移的最大距离是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L；
（2）环形带磁场的最小宽度是（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L．

点评 本题主要考查了带电粒子分别在电场和磁场中的运动情况，当两极间加上电压时，粒子做类平抛运动，根据类平抛运动规律求解问题．粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．

练习册系列答案
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（1）图甲情况下船的末速度；
（1）图乙情况的船的末速度；
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B．桌面对A的摩擦力小于A对桌面的摩擦力
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