Question

6．我们常常在电视上能看到一种刺激的水上运动--滑水板，如图所示．运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的．若运动员与滑板的总质量为m=80kg，滑板的总面积为S=0.12m²，水的密度为ρ=1.0×10³ kg/m³．理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角（板前端抬起的角度）为θ时，水对板的作用力大小为N=ρSv²sin²θ，方向垂直于板面．式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积，
求（1）当θ=37^°时，滑板做匀速运动时水平牵引力的大小
（2）为了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度（可以用根式表示）

Answer 1

分析 （1）随滑板和运动员整体受力分析，受拉力、支持力和重力，根据平衡条件列式求解；
（2）根据力的平衡求出速度和滑板与水平方向的夹角的关系，根据数学知识导数求该表达式的最小值，从而得出最小速度．

解答 解：（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示：

Ncosθ=mg                 
Nsinθ=F                    
两式联立解得F=600N；
（2）根据题设条件N=ρSv²sin²θ 代入①可得牵引力的速度：
v=$\sqrt{\frac{mg}{{ρSsi{n^2}θcosθ}}}$，
由式中可知：快艇的最小速度只由θ决定，令y=sin²θcosθ，则当y有最大值时，v有最小值．求y的导数并令其为零．$\frac{dy}{dθ}=2sinθco{s^2}θ-si{n^3}θ=0$
解得，$tanθ=\sqrt{2}$．
则${y_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
代入速度表达式中，最小速度v_min=$\sqrt{\frac{{3\sqrt{3}mg}}{2ρS}}$=4.2m/s；
答：（1）当θ=37^°时，滑板做匀速运动时水平牵引力的大小为600N；
（2）为了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度为4.2m/s．

点评 本题本来是一道相当难的问题，数学计算较复杂，但使用导数运算后，使的一难题变为一道常规题．