题目内容
6.我们常常在电视上能看到一种刺激的水上运动--滑水板,如图所示.运动员在快艇的水平牵引力作用下,脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行,设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为m=80kg,滑板的总面积为S=0.12m2,水的密度为ρ=1.0×103 kg/m3.理论研究表明:当滑板与水平方向的夹角(板前端抬起的角度)为θ时,水对板的作用力大小为N=ρSv2sin2θ,方向垂直于板面.式中v为快艇的牵引速度,S为滑板的滑水面积,求(1)当θ=37°时,滑板做匀速运动时水平牵引力的大小
(2)为了使滑板能在水面上滑行,快艇水平牵引滑板的最小速度(可以用根式表示)
分析 (1)随滑板和运动员整体受力分析,受拉力、支持力和重力,根据平衡条件列式求解;
(2)根据力的平衡求出速度和滑板与水平方向的夹角的关系,根据数学知识导数求该表达式的最小值,从而得出最小速度.
解答 解:(1)以滑板和运动员为研究对象,其受力如图所示:
Ncosθ=mg
Nsinθ=F
两式联立解得F=600N;
(2)根据题设条件N=ρSv2sin2θ 代入①可得牵引力的速度:
v=$\sqrt{\frac{mg}{{ρSsi{n^2}θcosθ}}}$,
由式中可知:快艇的最小速度只由θ决定,令y=sin2θcosθ,则当y有最大值时,v有最小值.求y的导数并令其为零.$\frac{dy}{dθ}=2sinθco{s^2}θ-si{n^3}θ=0$
解得,$tanθ=\sqrt{2}$.
则${y_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$,
代入速度表达式中,最小速度vmin=$\sqrt{\frac{{3\sqrt{3}mg}}{2ρS}}$=4.2m/s;
答:(1)当θ=37°时,滑板做匀速运动时水平牵引力的大小为600N;
(2)为了使滑板能在水面上滑行,快艇水平牵引滑板的最小速度为4.2m/s.
点评 本题本来是一道相当难的问题,数学计算较复杂,但使用导数运算后,使的一难题变为一道常规题.
练习册系列答案
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16.如图所示,n=50匝的圆形线圈,它的两端点a、b与理想电压表相连,线圈中磁通量的变化规律如图所示,若a、b两点的电势分别为φa、φb,电压表的读数为U,则( )
A. | φa>φb | B. | φa<φb | C. | U=2V | D. | U=100V |
17.如图所示,在某同学通过滑轮组将一重物缓慢吊起的过程中,该同学对绳的拉力将(滑轮与绳的重力及摩擦不计)( )
A. | 逐渐变大 | B. | 逐渐变小 | C. | 先变大后变小 | D. | 先变小后变大 |
14.如图所示,质量均为m的两木块a与b叠放在水平面上,a受到斜向上与水平面成θ角的力作用,b受到斜向下与水平面成θ角的力作用,两力大小均为F,两木块保持静止状态,则( )
A. | a、b之间一定存在静摩擦力 | B. | b与地面之间一定存在静摩擦力 | ||
C. | b对a的支持力一定等于mg | D. | 地面对b的支持力一定大于2mg |
1.如图,在倾角为θ的光滑斜面上,重为G的物体受到水平推力F的作用,物体静止不动,则物体对斜面的压力大小为( )
A. | $\frac{G}{cosθ}$ | B. | Gcosθ | C. | Gcosθ+Fsinθ | D. | Gcosθ+Fcosθ |
11.如图所示,质量为M的斜面体A粗糙水平面上,用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上,整个系统处于静止状态.已知斜面倾角θ=30°,轻绳与斜面平行且另一端固定在竖直墙面上,不计小球与斜面间的摩擦,则( )
A. | 斜面对小球的作用力大小为mg | |
B. | 轻绳对小球的作用力大小为mg | |
C. | 斜面体对水平面的压力大小为(M+m)g | |
D. | 斜面体与水平面间的摩擦力大小为mg |
18.关于共点力,下列说法正确的是( )
A. | 作用于同一物体上的力就是共点力 | |
B. | 只有作用于同一点上的力才是共点力 | |
C. | 不管作用于几个物体,作用线交于同一点的力就是共点力 | |
D. | 不是同一物体所受的力一定不是共点力 |