Question

15．如图所示，在xOy坐标系内，第一象限内分布这磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内分布这电场强度为F、方向沿x轴正方向的匀强电场，有一重力不计，比荷为$\frac{q}{m}$=10C/kg的带电粒子以垂直于x轴的速度v₀=10m/s，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好为y轴正半轴为45°角射入磁场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴并通过x轴上的Q点进入第四象限，已知OP之间的距离d=0.5m，且计算结果保留两位有效数字，试求：
（1）带电粒子的电性及电场强度E的大小
（2）磁感应强度B的大小及粒子从P点到Q点运动的时间
（3）若在x轴下方再加一垂直xOy坐标系向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B′，粒子刚好再次打在P点，试求磁感应强度B′的大小及粒子第二次通过y轴正半轴时粒子的速度v′的大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由末速度的方向与y轴成45°得用类平抛运动的规律就能求出电场强度的大小．
（2）由题设条件，带电粒子垂直打在x轴，由几何关系可求得粒子做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力可求得磁感应强度大小．至于从P到Q的时间应该是带电粒子在电场和磁场的时间之和．
（3）在x轴下方也加上另一磁场，且带电粒子又回到P点，从几何关系求出带电粒子在x轴下方做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力从而求得x轴下方的磁感应强度．分别求出粒子第二次经过y轴的水平速度和竖直速度，两者矢量和就是第二次经过y轴的合速度．

解答 解（1）根据带电粒子在电场中的偏转方向可知带电粒子带正电．
粒子运动的轨迹如图所示，由恰好与y轴成45°射入磁场可知，离开
电场时v_x=v_y=v₀，则$v=\sqrt{2}{v}_{0}=10\sqrt{2}$m/s． 在电场中沿x轴方向上
做匀加速直线运动，有${{v}_{x}}^{2}=2ad$    及Eq=ma
解得：$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$=10V/m
（2）在电场中沿x轴方向上做匀加速直线运动的时间为：
t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$=0.1s
沿y轴方向的位移为：
l=v₀t₁=2d=1m
由几何关系可得圆周运动的半径为：
R=$\sqrt{2}l=\sqrt{2}m$
由带电粒子做圆周运动可知：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{1}{10}×\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}T$=1.0T
在磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{135°}{360°}T$=$\frac{3}{8}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{3π}{40}s$
所以从P点到Q点运动的时间为：t_总=t₁+t₂=0.1s+$\frac{3π}{40}s$≈0.34s
（3）根据题意有：$qvB′=m\frac{{v}^{2}}{R′}$，
由几何关系有：2R′=R+Rsin45°+OP=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}m$
解得：B′=$\frac{mv}{qR′}$=$\frac{10\sqrt{2}×4}{10×（3+2\sqrt{2}）}T$≈0.97T
再次进入电场后，又做类平抛运动，可知：
v′_x=v_x=v₀=10m/s，及v′_y=v=10$\sqrt{2}$m/s
所以合速度为：v′=$\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}$=$10\sqrt{3}m/s$=17m/s．
答：（1）带电粒子带正电，电场强度E的大小为10V/m．
（2）磁感应强度B的大小为1.0T，粒子从P点到Q点运动的时间0.34s．
（3）若在x轴下方再加一垂直xOy坐标系向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B′，粒子刚好再次打在P点，磁感应强度B′的大小为0.97T，粒子第二次通过y轴正半轴时粒子的速度v′的大小为17m/s．

点评 本题的物理过程很明确，直接由物理过程遵循的规律列出相应的式子，可以得到结果．要注意的是带电粒子两次做匀速圆周运动后回到P点后再次进入电场做类平抛运动，经过y轴时合速度是水平和竖直方向分速度的矢量和．