Question

13．有一质量为M半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为$\frac{R}{2}$的球体，如图所示，
（1）求剩下部分对m的万有引力F为多大？
（2）若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，则质点m所受到的万有引力为多大？

Answer 1

分析 用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．
用剩余部分对质点的引力以及填满的新物质对质点的引力之和，得出质点m所受的万有引力．

解答 解：（1）没挖去前，球体对质点m的万有引力${F}_{1}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}$，
根据m=$ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$，可知挖去部分的质量是球体质量的$\frac{1}{8}$，则挖去部分对质点m的引力${F}_{2}=\frac{G\frac{1}{8}Mm}{（\frac{3R}{2}）^{2}}$=$\frac{GMm}{18{R}^{2}}$，
则剩下部分对m的万有引力F=${F}_{1}-{F}_{2}=\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．
（2）若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为$\frac{1}{4}M$，
则该物质对质点m的万有引力${F}_{3}=\frac{G\frac{1}{4}Mm}{（\frac{3R}{2}）^{2}}=\frac{GMm}{9{R}^{2}}$，
所以质点所受的万有引力$F′=F+{F}_{3}=\frac{7GMm}{36{R}^{2}}+\frac{GMm}{9{R}^{2}}$=$\frac{11GMm}{36{R}^{2}}$．
答：（1）剩下部分对m的万有引力F为$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$；
（2）质点m所受到的万有引力为$\frac{11GMm}{36{R}^{2}}$．

点评 本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体，其引力直接由公式得到．