Question

16．如图，在一二象限内-R≤x≤R范围内有竖直向下的运强电场E，电场的下边界方程为y=$\frac{1}{2R}$x²．在三四象限内存在垂直于纸面向外、边界方程为x²+y²=R²的匀强磁场．匀强磁场的磁感应强度可控制可调节，在第二象限中电场的下边界有许多质量为m，电量为q的正离子，在y=$\frac{1}{2}$R处有一荧光屏，当正离子达到荧光屏时会发光，不计重力和离子间相互作用力．
（1）求在x（-R≤x≤R）处由静止释放的离子进入磁场时速度．
（2）若仅让横坐标x=-$\frac{R}{3}$的离子释放，它最后能经过点（R，0），求离子从释放到经过点（R，0）所需时间t．
（3）若同时将离子由静止释放，释放后离子先后到达荧光屏，并且发现荧光屏上只有一点持续发出荧光．求该点坐标及此时的磁感应强度B₁．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经电场加速度后获得的速度，即进入磁场时速度．
（2）先由第一问的结论求出x=-$\frac{R}{3}$处的离子释放后获得的速度，然后运动学公式和牛顿第二定律求出从释放到经过点（R，0）所需时间t．
（3）所有离子都经过的点为持续发出荧光的点，由几何知识确定半径，由牛顿第二定律求磁感应强度．

解答 解：（1）于x处释放离子，由动能定理得：Eq$\frac{1}{2R}$x²=$\frac{1}{2}$mv²          
得离子进入磁场时的速度为：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|
（2）由（1）得在x=-$\frac{R}{3}$ 处释放的离子到达x轴时速度为：v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$•$\frac{R}{3}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{EqR}{m}}$                 
从释放到到达x轴时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{\frac{1}{3}\sqrt{\frac{EqR}{m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 
a）第一种情况：离子直接从x=-$\frac{R}{3}$经磁场达x=R 处．
在磁场中经历半圆时间为：t₂=$\frac{s}{v}$=$\frac{\frac{π}{2}（R+\frac{R}{3}）}{v}$=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$        
总时间为：T₁=t₁+t₂=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
b）第二种情况：离子直接从x=-$\frac{R}{3}$经磁场达x=$\frac{R}{3}$处进入电场返回磁场再到x=R处
易得在磁场中时间仍然为：t₂=2π$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                       
在电场中时间为：3t₁=$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                                
总时间为：T₂=3t₁+t₂=（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$                         
（3）在磁场B中有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                                     
所以运动半径为：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$|x|
可以看出，B一定时，必有r∝|x|，当|x|→0时，r→0 （离子经磁场偏转从逼近原点出磁场）因此，所有离子都从原点（0，0）点出磁场，击中荧光屏上（0，$\frac{1}{2}$R）
则有：2r=x
因为qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    
所以有：B₁=$\frac{mv}{qr}$=2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$              
答：（1）在x（-R≤x≤R）处释放的离子进入磁场时速度v=$\sqrt{\frac{Eq}{mR}}$|x|．
（2）若仅让横坐标x=-$\frac{R}{3}$的离子释放，它最后能经过点（R，0），从释放到经过点（R，0）所需时间t=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 或（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$．
（3）若同时将离子由静止释放，释放后一段时间发现荧光屏上只有一点持续发出荧光．该点坐标为（0，$\frac{1}{2}$R）磁感应强度B₁为2$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．

点评 本题中电场的区域边界是数学解析式的表达方式，设计新颖，学习中应该注意数学思想在物理中的应用