Question

真空中均匀带电金属球壳D，半径为R，如图所示．一质量为m带电量为+q的粒子绕球壳运动，运动轨迹为一椭圆，运动周期为T，“近地点”A恰好在球壳表面附近，“远地点”B到球面的距离为d．带电粒子的运动不影响球壳表面的电荷分布，静电力常量为k，不计万有引力．求：
（1）球壳的带电量Q；
（2）带电粒子在球壳表面的速度多大时能飞出球壳的电场？
（3）带电粒子在球壳表面时具有的电势能．（设带电粒子在离球壳无限远处电势能为0）
 

Answer 1

（1）设带电粒子在球壳表面做匀速圆周运动的周期为T0，球壳对带电粒子的库仑力提供向心力，有：k Qq R2 =m（ 2π T0 ）2R …①； 椭圆轨迹的半长轴为R+ d 2 ，根据开普勒第三定律有： T 20 T2 = R3 (R+ d 2 )3 …②； 联立①②得：Q= mπ2(2R+d)3 2kqT2 …③； 因带电粒子带正电，故球壳带负电：Q′=- mπ2(2R+d)3 2kqT2 ； （2）带电粒子的“第一宇宙速度”：υ1= 2πR T0 …④； 带电粒子若能飞出球壳的电场，在球壳表面的速度（“第二宇宙速度”）应为：υ2= 2 υ1…⑤； 联立②④⑤得：υ2= π T (2R+d)3 R …⑥； （3）设带电粒子在球壳表面时具有的电势能为EP，带电粒子在电场中运动时，动能与电势能的总和保持不变． 取带电粒子刚好能飞出球壳的电场的情况研究． 则：带电粒子在球壳表面时具有的总能量：E1=EP+ 1 2 mυ22…⑦； 带电粒子刚好飞出球壳的电场时的动能为零，依题意，带电粒子飞出球壳的电场时电势能为零． 则带电粒子飞出电场时的总能量：E2=0…⑧； 依据能量守恒有：E1=E2…⑨； 联立⑥⑦⑧⑨解得：EP=- mπ2(2R+d)3 2RT2 ； 答：（1）球壳的带电量- mπ2(2R+d)3 2kqT2 ； （2）带电粒子在球壳表面的速度υ2= π T (2R+d)3 R 时能飞出球壳的电场； （3）带电粒子在球壳表面时具有的电势能- mπ2(2R+d)3 2RT2 ．