Question

11．如图所示，在xoy平面x轴上方的等腰直角三角形OCD内存在垂直纸面向外的匀强磁场区域I，直角边长为a，在x轴下方有限范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，区域Ⅱ的磁场沿x方向足够宽广，y轴方向在$\frac{a}{2}$≤y≤0内，现有一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子以初速度V₀从O点沿OC方向射入区域I，由P点进入区域Ⅱ，往偏转后打在x轴上的Q点，P点的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）Q点的坐标为（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a，0），粒子的重力不计，求：
（1）磁场区域I，Ⅱ的磁感应强度B₁，B₂
（2）若有一系列初速度大小不同的粒子束从O点沿OC方向射入区域I，再射入磁场区域Ⅱ，求从磁场区域Ⅱ射出的粒子在下边界的分布范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据运动轨迹，由几何关系求出轨迹半径，即可根据洛伦兹力提供向心力列式，求出磁感应强度．
（2）当粒子进入区域Ⅱ和下边相切时粒子的速度最小，由几何关系求出轨迹半径，得到相切点的坐标．当粒子和区域I右边界相切进入磁场区域Ⅱ时速度最大，得到粒子Ⅱ区域圆心坐标和半径，写出圆方程，即可求得Ⅱ区域圆弧和下边界交点坐标．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设在Ⅰ区域圆弧半径为r₁，Ⅱ区域圆弧半径为r₂，由几何关系得：
r₁=$\frac{a}{2}$，r₂=a
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：B=$\frac{mv}{qr}$
则得：B₁=$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$，B₂=$\frac{m{v}_{0}}{aq}$
（2）当粒子进入Ⅱ区域和下边相切时粒子的速度最小，由几何关系得：
  r₂-$\frac{a}{2}$=r₂cos45°，
得：r₂=$\frac{a}{2-\sqrt{2}}$
由上题知：r₁=$\frac{1}{2}$r₂=$\frac{a}{2（2-\sqrt{2}）}$
则相切点坐标为：x₁=$\sqrt{2}$r₁+r₂cos45°=（$\sqrt{2}$+1）a
当粒子和I区域右边界相切进入磁场区域Ⅱ时速度最大，粒子Ⅱ区域圆心坐标为（2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）
半径：r₂=2a，则Ⅱ区域圆方程为：（x-2$\sqrt{2}$a）²+（y-$\sqrt{2}$a）²=4a²；
用y=-$\frac{a}{2}$代入得Ⅱ区域圆弧和下边界交点坐标为：
x₂=a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）
故从磁场区域Ⅱ射出的粒子在下边界的分布范围在：（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．
答：（1）磁场区域I，Ⅱ的磁感应强度B₁，B₂分别为$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$和$\frac{m{v}_{0}}{aq}$．
（2）从磁场区域Ⅱ射出的粒子在下边界的分布范围在（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．

点评 解决本题要抓住轨迹对应的圆心角是90°，由几何知识求轨迹半径和相关范围．也可以作出粒子的运动轨迹直观进行分析．