题目内容

1．如图所示，一水平匀速运动的传送带，右侧通过小圆弧连接两根直光滑金属导轨，金属导轨与水平面成θ=30°角，传送带与导轨宽度均为L=1m．沿导轨方向距导轨顶端x1=0.7m到x2=2.4m之间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场区域abcd，ab、cd垂直于平行导轨，磁感应强度B=1T．将质量均为m=0.1kg的导体棒P、Q相隔△t=0.2s分别从传送带的左端自由释放，两导体棒与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.1，两棒到达传送带右端时已与传送带共速．导体棒P、Q在导轨上运动时，始终与导轨垂直且接触良好，P棒进入磁场时刚好做匀速运动，Q棒穿出磁场时速度为$2\sqrt{6}$m/s．导体棒P、Q的电阻均为R=4Ω，导轨电阻不计，g取10m/s2．
（1）求传送带的运行速度v0．
（2）不需要求解过程，请定性画出导体棒P两端的电压Up随时间t的变化关系（从进入磁场开始计时）．
（3）求从导体棒P、Q在传送带上自由释放开始到穿出磁场的过程中产生的总内能．

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势、由欧姆定律求出电流、由安培力公式与平衡条件求出导体棒做匀速运动的速度，由动能定理求出传送带的速度．
（2）分三段求出电压随时间的变化关系，然后作出图象．
（3）由运动学公式求出导体棒与传送带间的相对位移，由能量守恒定律求出导体棒穿出磁场的过程中产生的总内能．

解答 解：（1）导体棒P进入磁场时做匀速运动，设切割磁感线的速度为v，则感应电动势E=BLv
感应电流 I=$\frac{E}{2R}$
导体棒受到的安培力F安=BLI=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
由平衡条件可知 F安=mgsin θ
解得v=4 m/s     
导体棒P脱离传送带时已与传送带共速，设传送带的速度为v0，导体棒P沿斜面下滑x1的过程中，由动能定理得
mgx1sin θ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v0=3 m/s，即传送带的运行速度为3 m/s．
（2）导体棒P匀速进入磁场时，两端电压UP=IR=$\frac{E}{2R}$•R=$\frac{BLv}{2}$
导体棒P、Q都进入磁场共同加速时，UP′=E=BLv
导体棒P出磁场后，只有导体棒Q切割磁场，做变减速运动，U″P=$\frac{BLv}{2}$
电压随时间的定性变化图象如图．
（3）导体棒P、Q在传送带上加速过程中产生的内能为Q1=2μmgs相对=0.9 J   
导体棒P匀速进入磁场过程中，有x3=vt
由功能关系得Q2=mgx3sin θ=0.4 J    
导体棒P、Q共同在磁场中加速下滑过程中，
x4=x2-x1-x3=0.9 m
设导体棒P出磁场时速度为u，由运动学规律得
u2-v2=2ax4，解得 u=5 m/s
导体棒Q切割磁感线时下滑的距离为 x5=0.8 m
由功能关系得Q3=mgx3sin θ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}m{u}^{2}$=0.45 J       
Q=Q1+Q2+Q3=1.75 J．
答：
（1）传送带的运行速度v0为3 m/s．
（2）画出导体棒P两端的电压Up随时间t的变化关系如图所示．　
（3）从导体棒P、Q在传送带上自由释放开始到穿出磁场的过程中产生的总内能为1.75 J．

点评 本题考查了求速度、作U-t图象、求产生的内能等问题，关键要分析清楚导体棒的运动过程，再应用E=BLv、应用欧姆定律、安培力公式、平衡条件、应用能量守恒定律即可正确解题．

练习册系列答案
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