Question

20．如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B．将长为L、质量为m的导体棒由静止释放，当导体棒下滑距离L时达最大速度v（v为未知量），导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为2R，不计导轨的电阻，重力加速度为g，求：
（1）速度v的大小
（2）当导体棒速度达到$\frac{v}{2}$时加速度大小
（3）导体棒从释放到下滑距离L过程流过导体棒的电荷量q
（4）导体棒从释放到下滑距离2L的过程中电阻上产生的热量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）导体棒沿导轨先加速后匀速，速度达到最大．匀速运动时受力平衡，由平衡条件和安培力与速度的关系式，可求出v．
（2）当导体棒速度达到$\frac{v}{2}$时，先求出安培力，再由牛顿第二定律求加速度．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求解流过导体棒的电荷量q．
（4）导体棒从释放到下滑距离2L的过程中，导体棒的重力势能减小，转化为回路中的电能和导体棒的动能，根据能量守恒求解电阻上产生的热量．

解答 解：（1）当导体棒匀速运动时速度达到最大，此时导体棒受力平衡，则有：mgsinθ=BIL
又 I=$\frac{BLv}{3R}$
联立得 mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$，得 v=$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）当导体棒速度达到$\frac{v}{2}$时导体棒受到的安培力 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{v}{2}}{3R}$=$\frac{1}{2}$mgsinθ
根据牛顿第二定律得 mgsinθ-F=ma
解得 a=$\frac{1}{2}$gsinθ
（3）导体棒从释放到下滑距离L过程流过导体棒的电荷量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{3R}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{3R}$=$\frac{B{L}^{2}}{3R}$
（4）导体棒从释放到下滑距离2L的过程中，回路中产生的总热量 Q_总=mg•2Lsinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
电阻上产生的热量 Q=$\frac{R}{3R}$Q_热；
解得 Q=$\frac{2}{3}$mgLsinθ-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：
（1）速度v的大小为$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）当导体棒速度达到$\frac{v}{2}$时加速度大小为$\frac{1}{2}$gsinθ．
（3）导体棒从释放到下滑距离L过程流过导体棒的电荷量q为$\frac{B{L}^{2}}{3R}$．
（4）导体棒从释放到下滑距离2L的过程中电阻上产生的热量Q是$\frac{1}{3}$mgLsinθ-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题考查了电磁感应知识和电路知识、力学规律，关键要正确分析棒的运动情况，推导出安培力表达式，并正确把握能量的转化情况．