Question

7．如图所示，平面直角坐标系xoy的第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场．一质量为m，电荷量为+q的粒子从y轴的A点以速度v₀沿x轴正方向进入电场，经电场偏转后从x轴的C点进入磁场，其方向与x轴正方向成30°角，最后从y轴的D点垂直射出，不计重力．求：
（1）粒子进入匀强磁场的位置C与坐标原点的距离L；
（2）匀强磁场的磁感应强度及粒子在磁场中运动的时间；
（3）若使粒子经磁场后不再进入电场，磁感应强度的大小应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据运动的合成与分解求解带电粒子在C点竖直方向的速度，再根据带电粒子在匀强电场中做类平抛运动求解粒子进入匀强磁场的位置C与坐标原点的距离L；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹图，由几何关系求半径和粒子轨迹对应的圆心角，根据轨道半径计算公式和周期计算公式求解；
（3）若带电粒子在磁场中运动时恰好与y轴相切时，画出运动轨迹图，根据几何关系和牛顿第二定律列式求解磁感应强度应满足的条件．

解答 解：（1）带电粒子在C点，由速度的合成与分解可知：${v_y}={v_0}tg{30^o}$…①
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，设运动时间为t₁，
由牛顿第二定律：qE=ma得：$a=\frac{qE}{m}$…②
再由类平抛运动的规律列式，有v_y=at₁…③
L=v₀t₁…④
联立①②③④式解得：$L=\frac{{\sqrt{3}mv_0^2}}{3qE}$…⑤
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，并设运动速度大小为v，轨道半径为R，
根据速度的合成与分解可知：vcos30°=v₀则：$v=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{v_0}$…⑥
由几何关系得：Rcos60°=L，即：R=2L…⑦
再根据牛顿第二定律，有：$qBv=m\frac{v^2}{R}$…⑧
联立⑥⑦⑧式解得：$B=\frac{E}{v_0}$…⑨
通过几何关系不难发现，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心角$θ=\frac{5}{6}π$
且圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$…⑩
那么，带电粒子在磁场中运动的时间${t_2}=\frac{5}{12}T=\frac{{5πm{v_0}}}{6qE}$…（11）
（3）若带电粒子在磁场中运动时恰好与y轴相切时，对应的磁场磁感应强度大小为B₀，并设轨迹半径为r₀，其运动轨迹如图所示．
几何关系为：${r_0}+{r_0}cos{60^o}=L$…（12）
由牛顿第二定律列式得：$q{B_0}v=m\frac{v^2}{r_0}$…（13）
联立以上两式整理得：${B_0}=\frac{3E}{v_0}$…（14）
那么，磁感应强度应满足的条件是：$B＜\frac{3E}{v_0}$．
答：（1）粒子进入匀强磁场的位置C与坐标原点的距离为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qE}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度为$\frac{E}{{v}_{0}}$，粒子在磁场中运动的时间$\frac{5πm{v}_{0}}{6qE}$；
（3）若使粒子经磁场后不再进入电场，磁感应强度的大小应满足$B＜\frac{3E}{{v}_{0}}$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间．