Question

19．如图所示，离地高为2L的光滑平台上，有一质量为3m，长度为12.5L的薄滑板．改变滑板左端到平台边缘的距离x，让一质量为m的小物块每次以相同的水平速度从右端冲上静置的滑板，滑板左端每次运动到平台边缘时立刻被锁定，而小物块则可能从滑板左端飞出，平抛到水平地面上．当x=3L时，滑板左端到达平台边缘时，小物块和滑板刚好共速．已知小物块和滑板间动摩擦因数为0.5，重力加速度用g表示，求：
（1）在x=3L的情况中，滑板刚好与小物块共速的速度大小；
（2）在x=3L的情况中，小物块滑到滑板左端时的速度大小；
（3）若x的取值范围为0≤x≤5L，写出平抛水平距离s与x的关系式．

Answer 1

分析 （1）滑板滑到最左端时，以滑板为研究对象，根据动能定理求解滑板与小物块的共同速度．
（2）小物块在滑板上滑行时，系统的合外力为零，系统的动量守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求得小物块滑到滑板左端时的速度．
（3）小物块离开滑板上做平抛运动，根据高度求得运动的时间t．根据小物块离开滑板的速度，求解平抛水平距离s与x的关系式．

解答 解：（1）在x=3L时，滑板滑到最左端时，以滑板为研究对象，根据动能定理有：
   μmg•3L=$\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$，解得：v=$\sqrt{gL}$．
（2）x=3L时，滑板滑到最左端前，物块与滑板组成的系统动量守恒，有：
  mv₀=（3m+m）v，解得 v₀=4$\sqrt{gL}$
滑板滑到最左端前，物块在滑板上滑行的相对距离为△L，则由能量守恒定律得：
   μmg△L=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$•4mv²，解得：△L=12L
滑板滑到最左端后，物块滑出滑板的速度为v′，则有：
-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²，解得：v′=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$．
（3）小物块离开滑板上做平抛运动，平抛运动的时间为t，则有：
  2L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得 t=2$\sqrt{\frac{L}{g}}$
当0≤x≤3L时，物块滑到滑板左端有：
-μmg（12.5L+x）=$\frac{1}{2}$mv″²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v″=$\sqrt{（3.5L-x）g}$
平抛运动的水平距离：s=v″t=$\sqrt{14{L}^{2}-4xL}$．
当3L≤x≤5L时，平抛运动的速度 v′=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$不变，所以 s=v′t=$\sqrt{2}$L．
答：
（1）在x=3L的情况中，滑板刚好与小物块共速的速度大小是$\sqrt{gL}$；
（2）在x=3L的情况中，小物块滑到滑板左端时的速度大小是$\sqrt{\frac{gL}{2}}$．
（3）当0≤x≤3L时，平抛水平距离s与x的关系式为：s=$\sqrt{14{L}^{2}-4xL}$．当3L≤x≤5L时，平抛水平距离s与x的关系式为：s=$\sqrt{2}$L．

点评 对物理过程仔细分析是解题的关键，同时对物理模型要把握遵守的物理规律．滑块在木板滑动的模型常常根据动量守恒定律和能量守恒定律结合研究．