Question

15．电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：

（1）磁场的方向；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）根据通过MN电流的方向，结合左手定则得出磁场的方向．
（2）根据欧姆定律得出MN刚开始运动时的电流，结合安培力公式，根据牛顿第二定律得出MN刚开始运动时加速度a的大小．
（3）开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值v_max时，根据电动势和电荷量的关系，以及动量定理求出MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q．

解答 解：（1）电容器上端带正电，通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下．
（2）电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有：
I=$\frac{E}{R}$…①
设MN受到的安培力为F，有：
F=IlB…②
由牛顿第二定律有：
F=ma…③
联立①②③式：得a=$\frac{BEl}{mR}$…④
（3）当电容器充电完毕时，设电容器上电量为Q₀，有：
Q₀=CE…⑤
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值v_max时，设MN上的感应电动势为E′，有：E′=Blv_max…⑥
依题意有：$E′=\frac{Q}{C}$…⑦
设在此过程中MN的平均电流为$\overline{I}$，MN上受到的平均安培力为$\overline{F}$，有：$\overline{F}=B\overline{I}l$…⑧
由动量定理，有$\overline{F}△t=m{v}_{max}-0$…⑨
又$\overline{I}△t={Q}_{0}-Q$…⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Q=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{C}^{2}E}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．
答：（1）磁场的方向为垂直于导轨平面向下；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小为$\frac{BEl}{mR}$；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{C}^{2}E}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，解决这类题目的基本思路是对研究对象正确进行受力分析，弄清运动形式，然后依据相应规律求解，对于第三问，注意电流在变化，安培力在变化，结合动量定理，通过平均电流，结合通过的电量进行求解．