Question

10．将质量m=1.24kg的圆环套在固定的杆上，杆AB段水平，BD段与水平面夹53°，环的直径略大于杆的截面直径，其中AB段环与杆的动摩擦因数为μ₁=0.8，BD段环与杆的动摩擦因数为μ₂=$\frac{1}{3}$，对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角θ=53°的恒定拉力F，使圆环从A点静止开始做匀加速直线运动，经2s内前进了8m到达B点．（取g=10m/s²，sin　53°=0.8，cos　53°=0.6）求：
（1）圆环加速度a的大小；
（2）拉力F的大小．
（3）若环冲上BD后立即撤去拉力F，经一段时间后运动到达C点，已知BC间距离为3m，求达到C点的时间．（AB段与BD段平滑连接，环在B点无速度损失）．

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式求得加速度；
（2）对环受力分析，受重力、拉力、弹力和摩擦力，其中弹力可能向上，也可能向下；要分两种情况根据牛顿第二定律列方程求解即可
（3）根据牛顿第二定律求得沿斜面上滑和下滑的加速度，根据运动学公式求得上滑和下滑经过C点的时间

解答 解：（1）小环的匀加速直线运动，有运动学公式可知$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得a=$\frac{2x}{{t}^{2}}=\frac{2×2}{{1}^{2}}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
（2）令Fsin53°-mg=0，则F=15.5N
当F＜15.5N时，环与杆上部接触，通过受力分析，根据牛顿第二定律可知Fcosθ-μN=ma，N+Fsinθ=mg
联立解得$F=\frac{ma+μg}{cosθ+μsinθ}=12N$
当F＞15.5N，环与杆下部接触，通过受力分析，由牛顿第二定律可知Fcosθ-μN′=ma，Fsinθ=mg+N′
联立解得$F=\frac{ma-μg}{cosθ-μsinθ}=124N$
（3）到B点时的速度v_B=at=8m/s
斜面上行过程受力如图mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得${a}_{1}=10m/{s}^{2}$
运动到最高点所需时间${t}_{1}=\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}=0.8s$
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得${a}_{2}=6m/{s}^{2}$
达到C点所需时间为t₂，则$x={v}_{B}{t}_{2}-\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{2}^{2}$，解得t₂=1s（大于0.8s舍去），
t₂=0.6s
上行最大位移为x₂=3.2m
下行还需${x}_{2}-x=\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{3}^{2}$，解得${t}_{3}=\frac{\sqrt{15}}{15}s$
所以下行经过C的时间${t}_{2}=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{15}}{15}s$
上行经过C点的时间t₂=0.6s
答：（1）圆环加速度a的大小为4m/s²；
（2）拉力F的大小为12N或者124N．
（3）若环冲上BD后立即撤去拉力F，经一段时间后运动到达C点，已知BC间距离为3m，达到C点的时间为下行经过C的时间${t}_{2}=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{15}}{15}s$
上行经过C点的时间t₂=0.6s

点评 本题要分两种情况对物体受力分析，然后根据平衡条件列方程求解，关键是分情况讨论