Question

2．在如图甲所示的xOy平面内，y轴右侧空间有分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，其变化规律分别如图乙、丙所示，电场强度大小为E₀，方向沿y轴负方向，垂直xOy平面向里为磁场的正方向．在t=0时刻，质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度大小为υ₀从坐标原点O沿x轴正方向出发，已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为t₀，不计粒子的重力，求粒子在：
（1）t=t₀时的动能；
（2）3t₀ ～4t₀时间内运动位移的大小；
（3）t=2nt₀（n=1，2，3，…）时位置坐标．

Answer 1

分析 （1）在0～t₀时间内区域内只有沿-y方向的匀强电场，带电粒子向下做类平抛运动，先求出带电粒子在电场中的竖直位移，再由动能定理求出末动能．
（2）在和t₀～1.5t₀时间内做逆时针方向的匀速圆周运动半周，1.5t₀～2t₀时间内做顺时针方向的匀速圆周运动半周，而在2t₀～3t₀继续做类平抛运动，那么在3t₀～4t₀时间重复t₀～2t₀的逆、顺时针圆周运动半周，只是速度变大了，半径更大．这段时间的位移恰好是4R₂．
（3）粒子在2nt₀内交替地做类平抛运动和逆、顺时针半圆周运动，沿着x轴方向一直向前推进，但沿y的方向上电场中是向下推进，在磁场中是向上返回的，由类平抛运动规律求出电场中的水平位移、竖直位移以及末速度方向，由洛仑兹力提供向心力求出圆周运动的半径，所以位置坐标是x=x_电+x_磁，y=y_磁-y_电．

解答 解：（1）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，沿y轴负方向的位移：${y}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{q{E}_{0}}{m}{{t}_{0}}^{2}$
  根据动能定理有：$q{E}_{0}{y}_{1}={E}_{k1}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  解得  E_k1=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{q{{E}_{0}}^{2}{t}_{0}}{2m}$
（2）粒子在3t₀～4t₀时间内是第二次在磁场内做的匀速圆周运动，其速度大小是粒
  子在电场中运动2t₀时瞬时速度的大小
  v₂=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+（a×2{t}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
 洛仑兹力提供向心力：Bqv₂=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
  由题意：T=t₀=$\frac{2πm}{Bq}$
 联立以上几式得：R₂=$\frac{{t}_{0}}{2π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
 所以该时间段内的位移 S=4R₂=$\frac{2{t}_{0}}{π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
（3）在t=2nt₀ （n=1，2.3…）时，粒子在所有电场中的运动合起来
  可以看成一个时间为nt₀完整的类平抛运动，所以粒子在电场中的位移：
  x_电=v₀×nt₀=v₀nt₀
  y_电=$\frac{1}{2}×\frac{{E}_{0}q}{m}（n{t}_{0}）^{2}$
  粒子在磁场中的运动，由几何关系可得（2n-1）t₀时间内的位移：
 粒子在磁场中沿x正方向的位移：x_磁=4R_nsinθ_n
  粒子在磁场中沿y正方向的位移：y_磁=4R_ncosθ_n
 而粒子做匀速圆周运动半径 R_n=$\frac{m{v}_{n}}{Bq}$
 在电场中末速度方向：sinθ_n=$\frac{{v}_{ny}}{{v}_{n}}$     cosθ_n=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}$
 而在电场末竖直速度：v_ny=$\frac{{E}_{0}q}{m}n{t}_{0}$  
  x_磁n=$\frac{2{E}_{0}q{{t}_{0}}^{2}n}{mπ}$
  y_磁n=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
  则粒子在2nt₀时位置坐标为
   x=x_电+x_磁=${v}_{0}n{t}_{0}+\frac{n（n+1）{E}_{0}q}{mπ}{{t}_{0}}^{2}$
   y=y_磁-y_电=$\frac{2{v}_{0}n{t}_{0}}{π}-\frac{{E}_{0}q{n}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{2m}$   （n=1，2.3…）
答：（1）t=t₀时的动能为$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{q{{E}_{0}}^{2}{t}_{0}}{2m}$．
（2）3t₀ ～4t₀时间内运动位移的大小为$\frac{2{t}_{0}}{π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$．
（3）t=2nt₀（n=1，2，3，…）时位置坐标是（${v}_{0}n{t}_{0}+\frac{n（n+1）{E}_{0}q}{mπ}{{t}_{0}}^{2}$，$\frac{2{v}_{0}n{t}_{0}}{π}-\frac{{E}_{0}q{n}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{2m}$）（n=1，2.3…）．

点评 本题的难点在于第三问：在第一、二题的基础上，弄清了在各个时间段的运动情况，即奇数个t₀时间内，做匀变速度曲线运动，从第一个开始可看作连续的类平抛运动，在x轴方向一直向左平移的，在偶数个t₀内做逆、顺时针方向半圆周运动，但沿y方向是向上平移的，由此可以求出2nt₀时刻的位置坐标．