Question

13．如图所示，在坐标系xOy中，过原点的直线OP与x轴正向的夹角θ=30°，在OP上方存在磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，其左边界为y轴、右边界与直线OP重叠；第四象限存在匀强电场，场强大小为E，方向沿与x轴负方向成ϕ=60⁰的角斜向下．一个质量为m，带电量为+e的质子以速度v₀从O点沿y轴正方向射入匀强磁场区域．质子飞出磁场区域后，从b点穿过x轴进入匀强电场中，之后通过了b点正下方的c点（图中没有画出）．不计质子的重力．求：
（1）质子在磁场中运动的半径．
（2）质子从O点运动到c点的时间．

Answer 1

分析 （1）质子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；
（2）质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求运动时间；射出磁场后做匀速直线运动，根据t=$\frac{s}{v}$求解时间；最后进入匀强电场做类平抛运动，根据分运动公式列式求解时间；最后求和即可．

解答 解：（1）质子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，最后进入匀强电场做类平抛运动，轨迹如图所示：
根据牛顿第二定律，有：$Be{v_0}=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$…①，
解得：$R=\frac{{m{v_0}}}{eB}$；
（2）质子在匀强磁场中运动的周期：$T=\frac{2πm}{eB}$…②，
由几何关系可知，质子在磁场中转过的圆心角：$π-2θ=\frac{2}{3}π$…③，
质子在匀强磁场中运动的时间${t_1}=\frac{π-2θ}{2π}T$=$\frac{2πm}{3eB}$…④，
质子在无场区匀速直线运动的路程  $ab=\frac{R}{tanθ}=\sqrt{3}R$…⑤，
运动的时间   ${t_2}=\frac{ab}{v_0}=\frac{{\sqrt{3}m}}{eB}$…⑥，
由几何关系可知，质子垂直电场线进入电场，做类平抛运动．
垂直电场方向：ssinθ=v₀t₃…⑦，
平行电场方向：$scosθ=\frac{1}{2}at_3^2$…⑧，
由牛顿第二定律    eE=ma…⑨，
解得：${t_3}=\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{eE}$…⑩，
所以质子从O点运动到c点的时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πm}{3eB}+\frac{{\sqrt{3}m}}{eB}+\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{eE}$；
答：（1）质子在磁场中运动的半径为$\frac{m{v}_{0}}{eB}$．
（2）质子从O点运动到c点的时间为$\frac{2πm}{3eB}+\frac{\sqrt{3}m}{eB}+\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{eE}$．

点评 本题是粒子在复合场中运动问题，关键是分匀速圆周运动、匀速直线运动和类似平抛运动三个过程，画出运动轨迹进行分析；
带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到．