Question

19．一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°．一条长为L的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着质量为m的物体（物体可看做质点），物体以角速度ω绕圆锥体的轴线作水平匀速圆周运动．
（1）当ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3L}}$时，求绳的拉力T₁；
（2）当ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$时，求绳的拉力T₂．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度．当角速度大于临界角速度，则物体离开锥面，当角速度小于临界角速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当物体刚离开锥面时：Tcosθ-mg=0，
由拉力与重力的合力提供向心力，则有：$mgtanθ=m{ω_o}^2lsinθ$
解之得：${ω_0}=\sqrt{\frac{{2\sqrt{3}g}}{3l}}$①
（1）当小球以角速度₁=$\sqrt{\frac{2g}{3l}}$＜ω₀时，则存在球受到斜面的支持力，因此由支持力、重力与拉力的合力提供向心力．
对球受力分析，如图所示，则有
${T}_{1}sinθ-Ncosθ=m{ω}_{1}^{2}lsinθ$②
T₁cosθ+Nsinθ=mg   ③
由②③联式解之得：${T}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg+\frac{1}{6}mg$
（2）当小球以角速度ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$＞ω₀时，则球只由重力与拉力的合力提供向心力，且细绳与竖直方向夹角已增大．
如图所示，则有${T}_{2}sinα=m{ω}_{2}^{2}lsinα$   ④
T₂cosα=mg   ⑤
由④⑤联式解得：T₂=2mg
答：（1）当ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3L}}$时，绳的拉力为$\frac{\sqrt{3}}{2}mg+\frac{1}{6}mg$；
（2）当ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$时，绳的拉力为2mg．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．