Question

3．如图所示，在倾角为θ=37°的足够长的固定斜面底端，一小物块以某一初速度沿斜面上滑，一段时间后返回到出发点，若物块上滑所用时间t₁和下滑所用时间t₂的大小关系满足t₁：t₂=1：$\sqrt{5}$，（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求：
（1）上滑加速度a₁与下滑加速度a₂的大小之比；
（2）物块和斜面之间的动摩擦因数；
（3）若斜面倾角变为60°，并改变斜面粗糙程度，小物块上滑的同时用水平向右的推力F作用在物块上，发现物块匀减速上滑过程中加速度与推力大小无关，求此时加速度大小（结果保留3位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）由题意知，物块上滑和下滑的位移大小相等，利用匀变速直线运动的位移公式求出加速度大小之比；
（2）分别对物块上滑和下滑受力分析，根据牛顿第二定律列方程联立求出物块和斜面之间的动摩擦因数；
（3）对小物块上滑时受力分析，应用牛顿第二定律和力的平衡条件求出加速度的表达式，根据加速度与推力无关求出动摩擦因数，然后求出加速度大小．

解答 解：（1）物块向上做匀减速直线运动，向下做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知，它们的位移大小相等，由匀变速直线运动的位移公式得：
$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$，
解得：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{t}_{2}^{2}}{{t}_{1}^{2}}$=$\frac{5}{1}$．
（2）由牛顿第二定律得：
物块上滑时，mgsin37°+μmgcos37°=ma₁，
物块下滑时，mgsin37°-μmgcos37°=ma₂，
解得：μ=0.5．
（3）物体上滑时受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得，mgsin60°+μ′N-Fcos60°=ma，
由平衡条件得：N=Fsin60°+mgcos60°，
整理得：mgsin60°+μ′Fsin60°+μ′mgcos60°-Fcos60°=ma，
因为a与F无关，所以，μFsin60°-Fcos60°=0，
解得：μ′=cot60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
a=gsin60°+μ′gcos60°=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m/s²≈11.5m/s²．
答：（1）上滑加速度a₁与下滑加速度a₂的大小之比为5：1；
（2）物块和斜面之间的动摩擦因数为0.5；
（3）此时加速度大小为11.5m/s²．

点评 本题考查了学生对匀变速直线运动规律和牛顿第二定律的掌握和应用，关键是对物块在斜面上进行受力分析，运用牛顿第二定律并结合运动学公式即可正确解题．注意情景发生改变，要重新进行受力分析．