Question

9．如图所示，质量M=0.40kg的靶盒A位于光滑水平导轨上，开始时静止在O点，在O点右侧有范围很广的“相互作用区域”，如图中划虚线部分，当靶盒A进入相互作用区时便受到水平向左的恒力F=20N作用，P处有一固定的发射器B，它可根据需要瞄准靶盒每次发射一颗水平速度v₀=50m/s，质量m=0.10kg的子弹，当子弹打入靶盒A后，便留在盒内，碰撞时间极短．今约定，每当靶盒A停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒A内．
（1）当第一颗子弹进入靶盒A后，靶盒A离开O点最大距离为多少？
（2）当第三颗子弹进入靶盒A后，靶盒A从离开O点到又回到O点所经历时间为多少？
（3）求发射器B至少发射几颗子弹后，靶盒A能在相互作用区内运动且距离不超过0.2m？

Answer 1

分析 （1）第一颗子弹进入靶盒A后，根据碰撞过程系统动量守恒列出等式，再运用动能定理求解．
（2）根据题意，A在的恒力F的作用返回O点时第二颗子弹正好打入，由于A的动量与第二颗子弹动量大小相同，方向相反，故第二颗子弹打入后，A将静止在O点．由系统动量守恒和动能定理求解．
（3）n颗子弹入射靶盒后，靶盒速度为V_n，离开O点的最大距离为S_n，则根据动量守恒定律有（M+nm）V_n=mV₀，再结合动能定理求解．

解答 解：（1）设第一颗子弹进入靶盒A后，子弹与靶盒A共同速度为υ₁．
根据碰撞过程系统动量守恒，有mυ₀=（m+M）υ₁…①
设A离开O点的最大距离为s₁，根据动能定理有：-Fs₁=0-$\frac{1}{2}$（m+M）${v}_{1}^{2}$…②
由①、②式得s₁=1.25m…③
（2）根据题意，A在恒力F作用下返回O点时第二颗子弹打入，由于A的动量与第二颗子弹动量大小相同、方向相反，
第二颗子弹打入后A将静止在O点．设第三颗子弹打入A后，它们的共同速度为υ₃
由系统动量守恒：mυ₀=（M+3m）υ₃…④
设A从离开O点到又回到O点经历时间为t，且碰后A运动方向为正方向，
由动量定理得：-F×$\frac{1}{2}$t=0-（M+3m）υ₃…⑤
由④、⑤两式得：t=0.5s…⑥
（3）设B至少发射n颗子弹，且碰后A的速度为υ_n
由系统动量守恒：mυ₀=（M+nm）υ_n…⑦
由动能定理：-Fs_n=0-$\frac{1}{2}$×（M+nm）${v}_{n}^{2}$…⑧
根据题意：s_n＜0.2m …⑨
由⑦、⑧、⑨式得：n＞27，所以B至少发射28颗子弹．
答：（1）当第一颗子弹进入靶盒A后，靶盒A离开O点最大距离为1.25m．
（2）当第三颗子弹进入靶盒A后，靶盒A从离开O点到又回到O点所经历时间为0.5s．
（3）发射器B至少发射28颗子弹后，靶盒A在相互作用区内运动的距离不超过0.2m．

点评 本题可以等效于碰撞模型；对于碰撞过程，其基本规律动量守恒定律要掌握牢固，并能正确运用．能把动量守恒定律和动能定理结合应用．