题目内容

17．如图所示，上表面光滑的”L“形木板B锁定在倾角为37°的足够长斜面上，将一小物块A从木板B的中点轻轻释放，同时解除木板B的锁定，此后A和B发生碰撞，碰撞过程时间很短且不计能量损失，已知物块A的质量m=1kg，木板B的质量M=4kg，板长L=6m，木板与斜面间的动摩擦因数μ=0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2，sin37°=0.6，试问：
（1）第一次碰撞后瞬间A和B的速度；
（2）在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A距B的最大距离和重力对A做的功；
（3）试分析说明第二次碰撞后小物体能否离开木板．

分析 （1）由机械能守恒求出A在碰撞前的速度；然后由机械能守恒与动量守恒求出第一次碰撞后瞬间A和B的速度；
（2）在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，当二者的速度相等时距离最大，由牛顿第二定律以及运动学的公式即可求出运动的时间以及A距B的最大距离，由功的定义式即可求出重力对A做的功．
（3）由动量守恒与机械能守恒求出第二次碰撞后二者各自的速度，然后由牛顿第二定律以及运动学的公式分析即可．

解答 解：（1）A与B碰撞前沿B向下的位移是3m，该过程中重力做功，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•\frac{L}{2}•sinθ$
代入数据得：v0=6m/s
A与B碰撞的时间短，可以认为沿斜面的方向二者的动量守恒，选取沿斜面向下的方向为正方向，则：
mv0=mv1+Mv2
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立得：v1=-3.6m/s，v2=2.4m/s
（2）A与B碰撞后，A受到重力、斜面的支持力，沿斜面的方向：mgsinθ=ma1
所以：${a}_{1}=gsinθ=10×sin37°=6m/{s}^{2}$
可知A先向上减速，然后再向下加速，
B受到重力、斜面的支持力、A对B的压力、斜面对B的摩擦力，沿斜面的方向：
Ma2=Mgsinθ-μ（m+M）gcosθ
代入数据得：a2=0
可知B沿斜面向下做匀速直线运动．当A的速度恰好与B的速度相等时，二者之间的距离最大，设时间为t，则：
v2=v1+a1t
代入数据得：t=1s
二者的相对位移：x=${v}_{2}t-{v}_{1}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
代入数据得：x=3m
当A再次与B相碰时，二者的位移相等，则：${v}_{2}t′={v}_{1}t′+\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}$
代入数据得：t′=2s
此过程中B的位移：xB=v2t′=2.4×2=4.8m
重力做的功：W=Mgx′•sinθ=4×10×4.8×sin37°=115.2 J
（3）此时A的速度：v3=va+a1t′=-3.6+6×2=8.4m/s
A第二次与B碰撞的过程中：mv3+Mv2=mv4+Mv5；
$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{5}^{2}$
联立得：v4=-1.2m/s；v5=4.8m/s
此后A的运动是先向上减速，然后再向下加速，B仍然做匀速直线运动，当A的速度恰好与B的速度相等时，二者之间的距离最大，设时间为t″，则：
v5=v4+a1t″
代入数据得：t″=1s
二者的相对位移：x″=${v}_{5}t-{v}_{4}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t″}^{2}$
代入数据得：x″=3m
所以A不能离开B板．
答：（1）第一次碰撞后瞬间A和B的速度分别为3.6m/s，方向向上和2.4m/s方向向下；
（2）在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A距B的最大距离是3m，重力对A做的功是115.2J；
（3）第二次碰撞后小物体不能离开木板．

点评 此题考察到了能量的转化与守恒定律，牵扯到了重力和摩擦力做功，要注意的是重力做功与路径无关，至于初末位置的高度差有关；摩擦力做功会使机械能能转化为内能，等于在整个过程中机械能的损失．
在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意运动过程的分析，此类问题，还要对整个运动进行分段处理．

练习册系列答案
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