Question

11．如图所示，一小球从半径为R的固定半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，关于小球的运动，以下说法正确的是（　　）

• A． 小球自抛出至B点的水平射程为$\frac{3}{2}$R
• B． 抛出点与B点的距离为2R
• C． 小球抛出时的初速度为$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$
• D． 小球自抛出至B点的过程中速度变化量为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$

Answer 1

分析 由几何知识求解水平射程．根据平抛运动速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，求出竖直方向上的位移，从而求出竖直方向上的分速度，根据速度方向求出平抛运动的初速度．速度变化量由△v=gt求解．

解答 解：A、由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为 x=R+Rcos60°=$\frac{3}{2}$R，故A正确．
B、小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度与水平方向的夹角为30°．
则tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
设位移与水平方向的夹角为θ，则tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{{v}_{0}t}$=$\frac{tan30°}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
可得竖直位移 y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×$\frac{3}{2}$R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R．
故抛出点与B点的距离 S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$R，故B错误．
C、根据v_y²=2gy得，v_y=$\sqrt{2gy}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$．
由tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得v₀=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$．故C正确．
D、速度变化量△v=gt=v_y=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$．故D正确．
故选：ACD．

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住速度方向，结合位移关系、速度关系进行求解．