Question

（18分）如图甲所示，竖直面MN的左侧空间存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）。一个质量为m、电量为q的可视为质点的带正电的小球，以大小为v₀的速度垂直于竖直面MN向右作直线运动。小球在t=0时刻通过电场中的P点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D点（P、D间距为L，且它们的连线垂直于竖直平面MN，D到竖直面MN的距离DQ等于L/π），经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示随时间周期性变化的、垂直纸面向里的磁场，设且为未知量。求：
（1）场强E的大小；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件t₁的表达式；
（3）进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动。则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小，并在图中定性画出此时小球运动一个周期的轨迹。
     

Answer 1

（1）E=mg/q  （2）
（3）   小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示

试题分析：（1）小球进入电场，做匀速直线运动时　Eq=mg　　　① （2分）
E=mg/q      ② （2分）
（2）在t₁时刻加磁场，小球在时间t_０内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T₀，半径为R 。
有： ③（2分）   竖直向下通过D点应有：PF-PD=R 
即： ④（2分）     将④代入⑤式解得 ⑤（2分）
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，也增加，小球在电场中的运动周期T也增加。在小球不飞出电场的情况下，当T最大时有：DQ="2R" 即 ⑥（2分）解得 ⑦（2分）
结合乙图及轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期：
 ⑧（2分）
小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示（2分）