Question

11．“嫦娥一号”卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星．设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为r，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．（球的体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³，其中R为球的半径）求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力求中心天体月球的质量M；
（2）在月球表面重力与万有引力相等求月球表面的重力加速度；
（3）根据密度公式求解．

解答 解：（1）对卫星，由万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）假设月球表面附件有一物体m′，其所受万有引力等于重力
$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$=m′g
g=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$
（3）球的体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³，根据密度的定义，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$
答：（1）月球的质量是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$；
（3）月球的密度是$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等于万有引力，要求能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．