Question

5．如图所示，粗糙斜面的倾角θ=37°，斜面上直径d=0.4m的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场，一个匝数为n=100匝的刚性正方形线框abcd，边长为0.5m，通过松弛的柔软导线与一个额定功率P=2W的小灯泡A相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框bc边，已知线框质量m=2kg，总电阻R₀=2Ω，与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，从t=0时起，磁场的磁感应强度按B=1-$\frac{2}{π}$t（T）的规律变化，开始时线框静止在斜面上，在线框运动前，灯泡始终正常发光，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）线框静止时，回路中的电流I；
（2）在线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量Q；
（3）若线框刚好开始运动时即保持磁场不再变化，求线框从开始运动到bc边离开磁场的过程中通过灯泡的电荷量q（柔软导线及小灯泡对线框运动的影响可忽略，且斜面足够长）

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律可求得感应电动势，再根据闭合电路欧姆定律可求得电流大小；
（2）对线框受力分析，根据平衡条件可求得恰好静止时的磁感应强度大小，再根据题中磁感应强度的变化规律可求得所用时间，根据Q=Pt求解产生的热量；
（3）根据电荷量的经验公式来求解电荷量．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律有线框中产生的感应电动势为：
E=$n\frac{△Φ}{△t}=n×\frac{△B}{△t}×\frac{1}{2}π{（\frac{d}{2}）}^{2}=100×\frac{2}{π}×\frac{1}{2}π×0.2$²=4V；
根据P=I²R=$（\frac{E}{R+{R}_{0}}）^{2}R$，
可得：R=2Ω，
解得：I=$\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{\frac{2}{2}}$A=1A；
（2）根据共点力的平衡条件可得：mgsinθ=n（1-$\frac{2}{π}$t）Id+μmgcosθ，
解得：t=0.45πs，
所以产生的热量为：Q=Pt=2×0.45π=0.9π J；
（3）由于B=1-$\frac{2}{π}$t=0.1T，
根据闭合电路的欧姆定律可得：$\overline{I}=\frac{E}{R+{R}_{0}}=\frac{n\frac{△Φ}{△t}}{R+{R}_{0}}$，
根据电荷量的计算公式可得：q=$\overline{I}•△t$=$n\frac{△Φ}{R+{R}_{0}}$=$\frac{π}{20}\\;C$C．
答：（1）线框静止时，回路中的电流为1A；
（2）在线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量为0.9π J；
（3）若线框刚好开始运动时即保持磁场不再变化，求线框从开始运动到bc边离开磁场的过程中通过灯泡的电荷量为$\frac{π}{20}$C．

点评 本题考查法拉第电磁感应定律的应用，要注意明确磁感应强度随时间变化的规律满足一次函数关系，则可知公式中的k即为磁感应强度的变化率；同时注意掌握平衡条件的应用即可正确求解．